2018-09-25

数学：中学因式分解两三说

注：本文章仅适用于普通学习者，数学大牛请自动略过。

        因式分解，就是把一个多项式在一个范围内化为几个整式的积的形式，这个范围可以用复数（a+bi）统一概括，但常说是因式分解是在实数范围内，本篇也仅针对此范围进行讲解，后续不在声明。

因式分解常用的方法有提取公因式、公式法、凑配法，由于提取公因式的方法较为简单，不再说明。

        公式法，将多项式中与已有公式类似项，变形成与对应公式类似结果，达到因式分解的目的，常见公式如下（含小编自己总结的）：，

 a²-b²=(a+b)(a-b)

 a²+2ab+b²=(a+b)²

a²-2ab+b²=(a-b)²

 a³-1=(a-1)(a²-a+1)

 a³+1=(a+1)(a²+a-1)

       由于公式法比较简单，在这里仅给出两个题目，读者可以简单看一下：

(1)（P³）²-1

(2)   2a³-1

        凑配法，利用已有经验通过在原有多项式增加与减少来达到提取公因式目的，在凑配之前需提前提前分析最终结果会有哪些项，即先试根（另多项等于0，试出一个或多个解），之后降次分解，以下仅以a³-b³举例进行说明：

   首先分析，可令a³-b³=0，可得a=b,则结果中必有（a-b），可将凑配公因式（a-b）,具体如下

  a³-b³=a³-a²b-b³+ab²+a²b-ab²

          =a²(a-b)  +b²（a-b）+ab(a-b)

          =(a-b)(a²+b²+ab)

       关于因式分解的应用，中学阶段主要用于一元二次方程或不等式解法（十字交叉法或配方法）、特殊的一元三次方程解法（仅限存在特殊根，如0，±1，±2，±1/2）以及复杂函数（含幂函数、对数函数、三角函数等）值域或单调性分析等方面，可根据实际情况灵活应用，特别是第二种方法，通过试根法可解决复杂函数分析时，可有效解决过程中高次问题，例如出现f(x)=x³-x+2去分析原函数的单调性或位置数的取值范围，可得到有效解决。

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