转载自:https://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/46383947
编辑距离的动态规划解
问题描述
给定 2 个字符串 a, b. 编辑距离是将 a 转换为 b 的最少操作次数，操作只允许如下 3 种：
插入一个字符，例如：fj -> fxj
删除一个字符，例如：fxj -> fj
替换一个字符，例如：jxj -> fyj
思路
用分治的思想解决比较简单，将复杂的问题分解成相似的子问题。
假设字符串 a, 共 m 位，从a[1]到a[m]
字符串 b, 共 n 位，从b[1]到b[n]
d[i][j]表示字符串a[1]-a[i]转换为b[1]-b[j]的编辑距离。
那么有如下递归规律（a[i]和b[j]分别是当前要计算编辑距离的子字符串 a 和 b 的最后一位）：
当a[i]等于b[j]时，d[i][j] = d[i-1][j-1], 比如 fxy -> fay 的编辑距离等于 fx -> fa 的编辑距离
当a[i]不等于b[j]时，d[i][j]等于如下 3 项的最小值：
d[i-1][j]+ 1（删除a[i]（删除等价于插入操作，相当于插入b中插入a[i[）），比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fx -> fab 的编辑距离 + 1
d[i][j-1]+ 1（删除 b[j]或者插入b[j])，比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxyb -> fab 的编辑距离 + 1= fxy -> fa 的编辑距离 + 1
d[i-1][j-1]+ 1（将a[i]b[j]同时删除（等价于交换操作）），比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxb -> fab 的编辑距离 + 1 = fx -> fa 的编辑距离 + 1
递归边界：
a[i][0] = i, b 字符串为空，表示将a[1]-a[i]全部删除，所以编辑距离为 i
a[0][j] = j, a 字符串为空，表示 a 插入b[1]-b[j]，所以编辑距离为 j
非动态规划的递归代码
按照上面的思路将代码写下来
intedit_distance(char*a,char*b,inti,intj){if(j ==0) {returni; }elseif(i ==0) {returnj;// 算法中 a, b 字符串下标从 1 开始，c 语言从 0 开始，所以 -1}elseif(a[i-1] == b[j-1]) {returnedit_distance(a, b, i -1, j -1); }else{returnmin_of_three(edit_distance(a, b, i -1, j) +1, edit_distance(a, b, i, j -1) +1, edit_distance(a, b, i -1, j -1) +1); }}edit_distance(stra, strb,strlen(stra),strlen(strb));
但是有个严重的问题，就是代码的性能很低下，时间复杂度是指数增长的。
上面的代码中，很多相同的子问题其实是经过了多次求解，解决这类问题的办法是用动态规划。
用动态规划思想优化时间复杂度
像以上解决思路，是从后往前算的，比如我想知道edit_distance(a, b, i, j)我可能需要知道edit_distance(a, b, i-1, j-1)。
如果从前往后算，先算出各个子问题，然后根据子问题，计算出原问题，对于这个问题性能不错。
例如以字符串 a = "fxy", b = "fab" 为例：
首先建立一个矩阵，用来存放子问题及原问题的编辑距离，并将递归边界在矩阵中填好
然后计算 i = 1, j = 1 所对应的编辑距离：比较a[i]和b[j]是否相等然后根据递归规律算出这个值
比如在这种情况下a[i] = f和b[j] = f, 那么d[i][j]就等于d[i-1][j-1]等于 0
然后计算 i = 1, j = 2 直到算出 i = 3, j = 3, 原问题的编辑距离就等于d[3][3]
即要计算d[i][j]只需要知道3个位置上的值。
现在的时间复杂度已到了可接受范围，为 O(mn)。
代码如下：
这个算法的空间复杂度为 O(mn), 当一步步填写矩阵的过程中，应该能够感受到，空间复杂度可以继续优化，因为计算矩阵某位置值的时候总是需要有限的量，同一时间并不需要所有矩阵的值。
根据具体问题优化空间复杂度
还是以 a = "fxy", b = "fab" 为例，例如计算d[1][3], 也就是下图中的绿色方块，我们需要知道的值只需 3 个，下图中蓝色方块的值
进一步分析，我们知道，当计算d[1]这行的时候，我们只需知道d[0]这行的值，同理我们计算当前行的时候只需知道上一行就可以了。
再进一步分析，其实我们只需要一行就可以了，每次计算的时候我们需要的 3 个值，其中上边和左边的值我们可以直接得到，坐上角的值需要临时变量（如下代码使用 old）来记录。
代码如下：
intedit_distance(char*a,char*b){intlena =strlen(a);intlenb =strlen(b);intd[lenb+1];inti, j, old, tnmp;for(j =0; j <= lenb; j++) { d[j] = j; }for(i =1; i <= lena; i++) { old = i -1; d[0] = i;for(j =1; j <= lenb; j++) { temp = d[j];// 算法中 a, b 字符串下标从 1 开始，c 语言从 0 开始，所以 -1if(a[i-1] == b[j-1]) { d[j] = old; }else{ d[j] = min_of_three(d[j] +1, d[j-1] +1, old +1); } old = temp; } }returnd[lenb];}
写代码的过程中需要注意的一点就是，当一行计算好之后开始下一行的时候，要初始化old和d[0]的值
优化过后时间复杂度还是 O(mn), 空间复杂度可以写成 O(min(m,n))。