(一) 分治算法

- 基本思想
- 适用情况
- 基本步骤
- 程序设计
  - 思维过程
  - 一般的算法设计模式
  - 复杂度
- 经典运用

# 基本思想：

字面上的解释是“分而治之”，就是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题( 反复分解直到问题小到可直接求解为止)，使这些子问题相互独立可分别求解，再将k个子问题的解合并成原问题的解。
- 这些子问题相互独立且与原问题性质相同(规模一般也相同)。只要求出子问题的解，合并就可得到原问题的解。
在分治法中，子问题的解法通常与原问题相同。这自然导致 递归过程。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

# 适用情况

分治法能解决的问题一般具有以下4个特征：
（1）当问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
（2）问题可以分解为若干个规模较小的问题，即该问题具有最优子结构性质。
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解（关键）；
（4）各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提,它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

这个思想是很多高效算法的基础，在各种排序方法中，如：归并排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。还有傅立叶变换(快速傅立叶变换)等

# 基本步骤：

分解，将要解决的问题划分成若干个规模较小的同类问题
求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决
合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解

分治

要点：

分几个？子问题规模多大？最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的 k 个子问题的处理方法是行之有效的。
子问题如何求解?
合并原问题的解?
分析时间复杂性

# 程序设计

## 依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

一定是先找到最小问题规模时的求解方法
然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。
分治的算法思想与递归往往是相伴而生的

## 一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)

其中:
    |P|表示问题P的规模；
    n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。
    ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。
    算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

## 复杂度

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
通过迭代法求得方程的解：
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而
当时，

# 经典运用：

二分查找
合并(归并)排序
快速排序
最大子段和
最近对
凸包
汉诺塔
大数相乘问题
比赛日程安排
寻找假币问题
Strassen矩阵乘法
棋盘覆盖
线性时间选择
...

//示例代码：二分查找
#include 
 
int bin_search(int A[], int n, int key)
{
    int low = 0, high = 0, mid = 0;
    high = n - 1;
    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;
        if (A[mid] == key) { //查找成功，返回mid
            return mid;
        }
        if (A[mid] < key) { //在后半序列中查找
            low = mid + 1;
        }
        if (A[mid] > key) { //在前半序列中查找
            high = mid - 1;
        }
    }
    return -1; //查找失败
}
 
int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    int A[10] = {2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 19, 21};
    int i = 0, n = 0, addr = 0;
    printf("The contents of the Array A[10] are\n");
    for (i = 0; i < 10; i++) {
        printf("%d ",A[i]); //显示数组A中的内容
    }
    printf("\nPlease input a interger for search\n");
    scanf("%d", &n); //输入待查找得元素
    addr = bin_search(A, 10, n); //折半查找，返回该元素在数组中的下标
    if (-1 != addr) {
        printf("%d is at the %dth unit is array A\n", n, addr);
    }else{
        printf("There is no %d in array A\n", n); //查找失败
    }
    getchar();
     
    return 0;
}