python贝叶斯随机过程：马尔可夫链Markov-Chain，MC和Metropolis-Hastings，MH采样算法可视化

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介绍

本文，我们说明了贝叶斯学习和 计算统计一些结果。

from math import pi
from pylab import *

马尔可夫链的不变测度

考虑一个高斯 AR(1) 过程， ， 其中  是标准高斯随机变量的独立同分布序列，独立于 。假使 .。然后，具有均值的高斯分布  和方差  是马尔可夫链的平稳分布。我们用马尔可夫链的单个轨迹所取值的直方图来检查这个属性。

f=lambda x,m,sq: np.exp(-(x-m)\*\*2/(2\*sq))/np.sqrt(2\*pi\*sq)


plt.hist

第二个例子

我们在这里考虑一个马尔可夫链的例子，它的状态空间  是开单位区间。如果链条在 ，它等概率  选择两个区间之一  或者  ，然后移动到一个点，  它均匀分布在选定的区间内。马尔可夫链的不变分布有 cdf， 。 通过微分，我们可以得到相关的密度：  。对所有 ， 我们现在用马尔可夫链取值的直方图检查这个属性。

x=arange(1,m)/m

for i in range(p-1):
    \[a,b\]=rand(2)
    
plt.hist

我们还可以说明直方图如何收敛到平稳分布的密度。这可以通过使用 matplotlib 中的“动画”模块的动态动画来完成。下面是python代码。

anm = animation.FuncAnimation

以这个例子结束，这是一个动画。

data = \[\]
for i in range(p-1):
    \[a,b\]=npr.rand(2
    
    if ((i+1)%100==0):
        data.append
    
anim = animation.Func

我们现在用一个例子来说明大数定律。如 。 那么，我们期望 ,

x=np.arange/(p)
for i in range(p-1):
    \[a,b\]=npr.rand
m=np.cumsum(g(m))/np.arange(1,p+1)
plot

对称随机游走 Metropolis Hasting 算法

我们现在考虑一个目标分布，它是两个高斯分布的混合，一个集中在  ，另一个集中在 。

  是中心标准正态分布的密度。

为了针对此分布，我们根据对称随机游走 Metropolis Hasting 算法进行采样。当链条处于状态时 ，我们提出一个候选 ， 根据  ，其中  。然后我们接受  ，有概率 ， 其中 . 否则， .

from IPython.display import HTML


rc('animation', html='jshtml')
ani

独立Metropolis Hasting 算法

我们再次考虑一个目标分布，它是两个高斯分布的混合，一个集中在  ，另一个集中在 ，，其中  是中心标准正态分布的密度。

为了针对这种分布，我们根据具有独立提议的 Metropolis Hasting 算法进行采样。当链条处于状态时 ，我们提出一个候选  ，根据  ，其中  。然后我们接受  有概率 ， 其中  和  是密度 .。否则， .。

mc=npr.randn*np.one
data=\[\]
for i in range:
    v=sig*npr+sft
    alpha
    if (npr.rand()

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