浅谈数学方法论在数学教学中的实践 问 志 祥
(云南省曲靖市第一小学云南曲靖655000） 摘要：数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现，文明与创造等法则的一门学科。数学方法论给教师在数学教学中提供了理论指导，通过对它的学习有利于教师由“经验型教学”转向“理论指导下的自觉实践”，以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。数学思想方法是对数学本质的认识，是数学知识的精髓。
关键词：数学方法论 思想方法 数学教学 实践
一、问题的提出
无论从学生数学素养的培养方面和教师教学实践方面都需要教师精通数学方法论，只有熟知了这些方法论才能开展有效的数学课堂教学。随着课程改革的进行，对于我们数学教学也提出了更高的要求。《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》在总体目标重明确要求学生能够“获得适应未来社会和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学思想方法、数学活动经验）以及基本的数学思想法和必要的应用技能。数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。或者说，如何能够按照数学家的思维模式去进行思维。通过对具体数学事例的研究实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”。因此，日常的数学教学中加强数学思想方法的渗透，培养数学的思维显得更加重要。在教学过程中教师要充分认识到数学方法论的重要性,授之于“渔”而非授之于“鱼”，重视学生正确的科学的思维方法的培养，从根本上提高学生的解题能力。本文通过阐述数学方法论的概念及意义，列举数学思想方法在数学解题中的几个应用，来说明数学方法论的的重要性。
二、数学方法论对数学教学的意义
2．1数学思想方法是提高学生数学能力的根本途径.
数学课程改革强调要重视培养学生的数学创新意识，不仅要求学生掌握数学的基础知识和基本技能，而且还要掌握数学的思想方法.数学思想方法是数学知识的本质，是分析数学处理数学解决数学问题的方针和策略，是学生进行探究性学习的工具。方法论的数学教学使教学真正“授之于渔而非授之于鱼”让学生由“学会”变成“会学”，为其今后终身学习奠定基础.。数学思想方法是数学能力的核心要素，只有抓住这一要素才能从根本上提高学生的数学能力。数学教材以及数学知识可以变动，但不管怎样，数学思想方法总能发挥它的作用.在教学中，若仅仅简单地进行数学知识的堆积是不可能培养出学生的数学能力的，只有引导学生真正理解和掌握了数学思想方法，才能使学生在运用数学思想方法的过程中驾驭数学显示能力。所以数学教育的关键就在于形成和发展学生的数学思想方法.
2．2数学课堂教学现代化的改革要求
现在的数学课堂不在是单纯的“传授式”教学，在新课标中明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”意在进一步改变数学的教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间，关注学生数学素养的提高。而且把“具有解决问题的能力”作为有“数学素养”的一个重要的标志。而数学方法论在教学实践中以“问题解决”为中心组织教学，强调“数学的思维”,把问题作为载体，将数学思维方法的分析渗透到具体数学知识内容的教学中，使学生真正看到思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学到手的和能够加以推广应用的。这一教学理论为我们从更深的层次认识数学教学提供了理论依据，值得我们去深入学习研究。因此，为了让教师更好适应和驾驭课堂教学，必须掌握一定的数学方法论。
2．3数学方法论的教学使学生更容易理解学科内容.
心理学认为：如果知识结构中原有的有关观念在统摄和概括的水平上高于新知识，那么这时利用认知结构中的有关观念学习新知识便成为下位学习.学生在掌握了一些数学思想方法后再去学习相关的数学知识，就属于下位学习，这样的学习更具稳定性，有利于新知识的学习，新知识就能够顺利纳入到已有的认知结构中去，而数学思想方法是数学认知结构形成的核心.当学生有了一定的数学思想方法后才能更好地理解和掌握数学内容，挖掘数学体系内在的深层的意义，才能对数学知识做出深刻的解释和理解.
三、数学方法论在数学教学中的实践案例
在数学方法论中，重点阐述了观察、联想、尝试、试验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等。如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。
3．1数学方法论在解题教学中应用
数学大师波利亚曾说过：“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛性更为重要。至少在有些情况下，知识太多可能反而成了累赘，可能会妨碍解题者看出一条简单的途径，而良好的组织则有利而无弊。”数学课堂教学有效开展离不开教师的合理引导，教学中突出以问题为主线，启迪学生思考，使学生在课堂中深刻的感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程，理解和认识发生和发展的必然的因果关系，从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法，最终内化为自身知识结构的重要部分。
3．2数学方法论在概念教学中应用
一位数学家说过：“一堆没有亲身体验和视觉形象所支持的概念、定义不能开发智力，而只能关闭思路。”概念的形成有两种途径：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的，另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成。而概念的形成本身有着一定的发展过程，凝聚着前人探索的智慧。在概念再创造过程种，应对学生的思维给予暴露的机会，充分经历概念形成的两个阶段，从具体到抽象，再从抽象到具体，有利于学生对概念的自我意识和自我反省。
3．3数学方法论对提升学生数学素养的作用
著名数学家克莱因认为“数学史是教学的指南”。数学是一门使人创造性思维严格化和理论体系严谨化的科学。数学方法论强调用演绎与推理的理念，来论证概念间转换的恒等变化，从中体现准确、简洁地揭示有条件到结论严密的逻辑关系。而缺乏演绎与推理的人，会犯“想当然”的错误。历史能揭示出数学知识的显示、来源与应用，它告诉我们数学知识当时如何出现在人们头脑中的——即如何产生的。
用数学归纳法证明：
时。
解析：①当时，
左边，右边，左边 = 右边，所以等式成立。
②假设时等式成立，即有
，
则当时，
，
所以当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
这就运用了数学方法论中的归纳法。
例 2 鸡兔同笼，笼中有头50，有足140，问鸡、兔各有几只？
分析:化归的实质是待解决的问题转化为已解决的问题，这里包含了转化的思考，可以先对已知成分进行变形。每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是问题中不言而喻的已知成分。现在对问题中的已知成分进行变形：“一声令下”，要求每只鸡悬起一只脚（呈金鸡独立状），又要求每只兔悬起两只前脚（呈玉兔拜月状）。那么，笼中仍有头50，而脚只剩下70只了，并且，这时鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等——有一头兔，就多出一只脚，现在有头50，有足70，这就说明有兔20头，有鸡30头。
这就运用了数学方法论中的化归法。
例3 假设我们可以沿地球赤道紧紧地拉一根绳子，打上结，此时，绳子长度与赤道相等。然后把绳子剪开，加长10米，这样绳子已不紧扣在赤道上，产生了缝隙，问该缝隙有多少大？
解：设地球赤道为L,地球的半径为R,缝隙为a
实际情况让学生大吃一惊，缝隙居然有1.59米，大多说学生都可以从缝隙中走过。数学教育能培养正确的认知态度，使主观想象符合客观实际，培养学生严谨求实的个性品质。演绎与推理的理念，使人克服想当然的错误，正确认识自己，正确认识世界，这是学生走向社会的必备素质。同时数学方法论在教学中特别指出数学史的重要性。著名数学家克莱因认为“数学史是教学的指南”。历史能揭示出数学知识的显示、来源与应用，它不仅告诉我们数学知识当时如何出现在人们头脑中的——即如何产生的。
例4 将8个数字从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前面两个数字之和。如第七个数字和第八个数字分别是81，131，求第一个数字是多少？
解: 第六个数字是：131－81＝50
第五个数字是：81－﹙131－81﹚＝31
第四个数字是：第六个数字减去第五个数字131－81－[81－(131－81﹚]＝19
第三个数字是：第五个数字减去第四个数字[81－﹙131－81﹚]－131－81－[81－﹙131－81﹚]＝12
第二个数字是：第四个数字减去第三个数字﹛131－81－[81－﹙131－81﹚]﹜－﹛[81－﹙131－81﹚]－131－81－[81－﹙131－81﹚]﹜＝8
所以第一个数字是：12－8＝4
这就运用了数学方法论中的简单性原则。
四、数学方法论在教学实践中注意的问题
4．1注重渗透的循序渐进和逐步积累
在教学中首先要强调解决问题以后的“反思”。因为在一个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的；其次，要注意渗透的长期性，应该看到，对于数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，需要一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进的渗透和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。
4．2关注学生最近发展区和层次性
在贯彻数学思想方法地教学中，要关注学生的最进发展区，尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法并根据学生的差异，采取不同的思想方法解决问题，帮助学生完成学习迁移。教育的基本任务是找到这样的策略，既考虑到个别的差异，又能促进个体最充分地发展。因此，教师尽可能设计有利于学生发展的教学环节，如在教案设计，课堂探究等过程中，都应该注意不同层次的学生能不同程度的领会数学思想方法，使全体学生尽量使用数学思想方法分析问题、解决问题的思维策略，促成其最近发展区的形成。最终实现使“不同的人在数学上得到不同的发展。现代教育理论及心理学发展成果指出：人的智能是多元的；知识是个体通过与其环境的相互作用作用后获得的信息及其组织；要用开放、多元的眼光看待世界，为人充分展示生命的本真提供舞台。基于这些理论，我们应该从不同的视角、不同的层面去看待每个学生，善于发现学生各自的优势智能领域，并运用评价促进学生将其优势智能领域的优秀品质想其他智能领域迁移；应该注重对学生建构知识时采用的策略或方法的评价，把评价作为教学的一个组成部分；应该采用师对生、生对生及学生自我评价相结合的多元评价机制。
4．3提高教师的自身认识和可行性
古人云：“师者，人之楷模也”，意思是教师是学生的楷模，对学生起着潜移默化的影响。前苏联教育家乌申斯基说：“教师的思想道德、人格对学生的心灵上的影响是任何教科书，任何道德箴言，任何惩罚和奖励都不能代替的一种力量”。以自己高尚的品质、良好的修养与人格去感化、影响所教育对象，做到以情感人，以理服人，达到理想的教育目的。数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现，通常以具体的知识内容为载体，必须把握好数学思想方法教学的契机——概念的形成，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透、依势而行、潜移默化的启发学生领悟蕴含于数学知识中各种数学思想方法。教学理论应用于教学实践的过程，决不是机械地对号入座，这是对教师教学智慧的一种考验。
参考文献：
①徐献卿，纪保存 ；数学方法论与数学教学，北京：中国铁道出版社2009.7.1
②杨在荣，数学方法论，成都：西南交通大学出版社，2012.8
③刘兼，孙晓天，数学课程标准解读，北京：北京师范大学出版社，2002
④李玮，应重视和加强数学教育理论研究，天津：数学教育学报杂志编辑部2006,01期
⑤美．G．波利亚，怎样解题，上海：上海科技教育出版社，2007
⑥徐利治，数学方法论选讲，武汉：华中理工大学出版社，2000
⑦郑毓信，数学方法论入门，杭州：浙江教育出版社，2008