第六讲

功

可能用到的符号

,

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知识点

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1. 功的定义与作用
   • 力在物体位移方向的分量（投影）于位移大小的乘积
2. 做功的2种方法
   • 恒力的功
   • 变力的功
3. 求功的3种方法
   • 直接积分法
   • 动能定理法
   • 建模积分法
4. 做题注意事项
   • 明确指出微元过程
   • 先写出元功的表达式

例题

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• 例1. 恒力与位移同向
  某物体，收到沿着轴的恒力作用，并沿着轴正向移动了的位移，则该力做功为( )

解答：

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• 例2. 恒力与位移同向有固定夹角
  某物体，收到沿着轴向上的恒力作用，并沿着轴正向移动了的位移，则该力做功为( )

解答：

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• 例3. 变力：大小不变，夹角随位移变化
  某物体，收到大小恒定的力作用，且它与轴的夹角。在该力作用下，物体从坐标原点沿着轴正向移动到，则该力做功为( )

解答：当在微小的过程中为定值
元功为： 其中与x的函数关系

• 例4. 变力：方向不变，大小随位移变化
  某质点在力 的作用下沿 轴作直线运动，在从 移动到 的过程中，力所做的功为( )

解答：因为力是变力
在微小的过程中，可以把F 看做恒力则有

• 例5. 变力：初末状态知道，用动能定理
  质量为的质点在合外力 的作用下沿 轴作直线运动，在从 移动到 的过程中，合外力所做的功为( ).

解答： ?
显然不对，功的定义错了，力在物体位移方向的分量（投影）于位移大小的乘积，在这种有速度，有质量的，用动能定理：即合外力做功等于动能的变化量

• 作业
  变力做功的常用方法：动能定理。质量为的质点，在坐标平面内运动，其运动方程为，，从 到 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答：

• 作业
  质量 的质点在力 的作用下，从静止出发沿 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。

解答：显然这题应用动量定理：合外力的冲量等于物体动量的变化量即
在微小的过程中认为力保持不变

因为物体初态静止

• 作业
  质量 的物体沿轴作直线运动，所受合外力 。如果在处时速度；求该物体运动到处时速度的大小( )。

解答：在微小的过程中认为力为恒力

例6. 建模积分法
一人从深度为的井中提水，起始时桶中装有质量为的水，桶的质量为 kg，由于水桶漏水，每升高米要漏去质量为的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于位置时
(2) 当水桶从位置上升到的过程中。
第二步，元功应表达为
(3)
(4)
第三步，定积分的写法为
(5)
(6)
以上正确的是( )

解答：
（2）（3）（）

• 作业
  一链条总长为，质量为，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为.设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为。令链条由静止开始运动，则到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？

以桌面边缘为原点，以向下为正方向建立 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有

链条从x运动到x+dx在微小的过程中 ,同时链条在桌面上质量减少了

第二步，摩擦力的元功应表达为

摩擦力为变力，

第三步，定积分的写法为