大家周末好。今天给大家分享两个题，正好这两个题涉及到的知识点很多，但是很精彩，可能要看很久，可以周末慢慢看。题目分别是马拦过河卒和马拦过河卒2。涉及到动态规划以及组合数学的很多知识点。
其中第一题，标准的马拦过河卒问题是入门的棋盘 DP 的题目，非常基础。
如果没有马拦着过河卒，那么 leetcode 上有一样的题目，62. 不同路径。
有马拦着过河卒，则棋盘上会有一些点是障碍点，leetcode 上也有类似的题，63. 不同路径 II，只是障碍点不是通过马脚的方式给出。
但是本文的第二题，也就是马拦过河卒的变形题就复杂很多了，首先卒除了横着竖着走，还可以斜着走，其次是棋盘的长和宽很大，障碍点个数在 20 个以内，可以套棋盘 DP，但是 O(nm) 的时间复杂的不允许。只能从障碍点 20 个以内入手，通过组合数学解决。
本题是组合数学的一道好题，基本上把组合数学的常见知识点都过了一遍，涉及到组合计数，容斥计数，组合枚举，卢卡斯定理。当然有一些内容是稍微超纲的，但是对于工程师来说，找一些资料学习一下之后应该不难理解。
有的朋友如果之前没有学过组合数学的话，第二题会需要看比较长的时间，可以收藏一下周末慢慢看。
下面是解决第二题涉及到的组合数学的知识点，链接中是我写的知识梳理，以及代码模板。
组合计数: 针对可以斜线走的情况正确计数, 这块可以参考下面这篇文章
文章: 组合数学1-排列组合
链接: https://chengzhaoxi.xyz/64534.html
容斥计数: 主要涉及 N 个集合的容斥如何实现，这块可以参考下面这篇文章。
文章: 容斥计数
链接: https://chengzhaoxi.xyz/65b49d4d.html
组合枚举: 枚举所有可能同时出现在一条路径上的障碍点的时候，涉及到对组合的枚举，这块可以参考下面这篇文章 枚举。
文章: 枚举
链接: https://chengzhaoxi.xyz/17699.html
卢卡斯定理: 涉及到用求n, m 很大时的大组合数模质数的问题，这块可以参考下面这篇文章。
文章: 组合数
链接: https://chengzhaoxi.xyz/40979.html
下面我们就分别看这两个题。这两个题都是洛谷上的，如果想提交代码的话可以在洛谷上搜卒这个关键字即可。注意第一题是非常基础的动态规划的题目，如果这个题有问题的话，需要补一下动态规划这块。第二题如果没学过组合数学的话不会很正常，可以欣赏为主，顺便学习一些排列组合，容斥及其实现方法。
马拦过河卒1
棋盘上 A 点有一个过河卒，需要走到目标 B 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 C 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，A 点 (0, 0)(0,0)、B 点 (n, m)(n,m)，同样马的位置坐标是需要给出的。
现在要求你计算出卒从 A 点能够到达 B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。
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输入格式
一行四个正整数，分别表示 B 点坐标和马的坐标。
输出格式
一个整数，表示所有的路径条数。
说明
1 <= n, m <= 20, 0 <= 马的坐标 <= 20。
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输入输出样例
输入
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输出
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算法: 动态规划
棋盘DP算法
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状态定义
dp[i][j] := 从 (i, j) 到 (n, m) 的方法数
答案
dp[0][0]
初始化
dp[n][m] = 1
dp[i][j] = 0, 若 (i, j) 为马脚
状态转移
dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j + 1]
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代码
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#include
#include
using namespace std;
using ll = long long;
void init(vector>& dp, int x0, int y0, int n, int m)
{
dp[n][m] = 1;
dp[x0][y0] = 0;
int dx[8] = {1, 1, 2, 2, -1, -1, -2, -2};
int dy[8] = {2, -2, 1, -1, 2, -2, 1, -1};
for(int d = 0; d < 8; ++d)
{
int x = x0 + dx[d];
int y = y0 + dy[d];
if(x >= 0 && y >= 0 && x <= n && y <= m)
dp[x][y] = 0;
}
}
ll solve(int i, int j, const int n, const int m, vector>& dp)
{
if(dp[i][j] != -1)
return dp[i][j];
ll ans = 0;
if(i + 1 <= n)
ans += solve(i + 1, j, n, m, dp);
if(j + 1 <= m)
ans += solve(i, j + 1, n, m, dp);
return dp[i][j] = ans;
}
int main()
{
int n, m, x0, y0;
cin >> n >> m >> x0 >> y0;
vector> dp(n + 1, vector(m + 1, -1));
init(dp, x0, y0, n, m);
ll ans = solve(0, 0, n, m, dp);
cout << ans << endl;
}
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马拦过河卒2
卒的起点为左下角的 (1, 1) 目标是走到右上角的 (n, m)，求方案数，模 59393。
有 K 个坐标是卒不能走的
当前点为 (x, y) 时，每步可以选择都走法为 (x + 1, y), (x, y + 1), (x + 1, y + 1) 三种，也就是向右，向上，向右上
终点是从右边，或上边走出棋盘，也就是终点是 (1, 2, …, n, m + 1)，(n + 1, 1, 2, …, m) 和 (n + 1, m + 1)
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输入格式
第一行包含三个整数 N 、M 和 K ，分别表示棋盘的坐标范围与对方马的攻击格子数。
接下来 K 行，第 i 行包含两个正整数 Xi 和 Yi，表示对方马的第 i 个攻击坐标为 (Xi, Yi)。
输出格式
输出一行一个整数，表示过河卒走出棋盘的方案数对 59393 取模后的结果。
数据范围
1 <= N <= 10^9, 1 <= M <= 10^5, 0 <= K <= 20, 1 <= Xi <= N, 1 <= Yi <= M
(1, 1) 一定不会被马攻击，且被攻击的格子中不存在两个坐标相同的格子。
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输入输出样例
输入
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输出
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算法: 棋盘DP
问题转换，本题我们可以视为是求从 (1, 1) 走到 (n + 1, m + 1) 的方案数，因为当卒走到 (i, m + 1), (n + 1, j), (n + 1, m + 1) 后，后续就只有一种走法了。
于是起点终点实际上与标准马拦过河卒就一样了。只是攻击点是动态地给出来的。
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状态定义
dp[i][j] := 从 (1, 1) 走到 (i, j) 的方法数
答案
dp[n + 1][m + 1]
初始化
dp[1][1] = 1
dp[i][j] = 0, (i, j) 为被攻击的点
状态转移
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j - 1]
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优化: 组合数学
本题 n 的范围是 1e9，m 的范围是 1e5，因此传统的棋盘 DP 的 O(nm) 肯定不行。
由于攻击点个数 K 的范围是 20 很少，因此我们可以从这个点入手来解决，分为两步。
第一步是首先假设没有被攻击点，求从 (1, 1) 到 (n + 1, m + 1) 的方案数，这一步可以通过组合数学的方式给出来。
第二步是求出至少经过一个攻击点的方案数，这一步可以通过容斥原理给出来。
下面我们分别看这两步
(1) 组合计数
如果没有斜着走，只能向上走或向右走，那么一共要走 n + m 步，其中有 n 步是向上走的。总的方法数就是从 n + m 中选出 n 个的方法数
下面我们分析可以斜着走的情况，首先可以斜着走的次数是有限制的，不能大于 min(n, m)，因为超过这个数就走出界了。
其次每斜着走一次，总步数就会减少 1，比如当前需要走 n + m 步到达 (n + 1, m + 1)，斜着走了一次之后，所需步数就会变成 n + m - 1。
假设斜着走了 i 次，总的方法就是从 n + m - i 次中选出 i 次作为斜着走的方法数，然后再剩下的 n + m - 2i 次中，选出 n - i 次向上走的。总方案数如下
(2) 容斥计数
通过组合数学的方式，我们解决了没有障碍物时候从 (1, 1) 走到 (n + 1, m + 1) 的方案数。实际上这个公式是不限制起点和终点的，关键是向上走的步数和向右走的步数。假设起点是 (x0, y0), 终点是 (x1, y1)，那么方案数是
当有障碍的时候。我们的思路实际上是先求出无障碍时的方案数，然后减去经过了障碍点的方案数。
现在的问题是经过障碍点的方案数怎么算。
如果只有一个障碍点假设是 (x1, y1)，那么很好算，就是从 (1, 1) 走到 (x1, y1) 的方案数乘以从 (x1, y1) 走到 (n + 1, m + 1) 的方案数 。
如果有两个障碍点 (x1, y1), (x2, y2)，那么经过障碍点的方案数实际上是要把经过 (x1, y1) 的方案数和 (x2, y2) 的方案数加起来。
但是这么加可能会引入重复，也就是存在同时经过了 (x1, y1), (x2, y2) 这两个障碍点的路径，例如下面这样
这种路径在经过 (x1, y1) 的方案数和经过 (x2, y2) 的方案数中都加了一次。因此需要把同时经过两个障碍点的方案数减去
注意: 同时经过两个障碍点的路径不一定存在，例如下面这样
根据容斥原理，如果有三个障碍点，并且存在同时经过 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 的路径，则要把同时经过三个障碍点的路径个数加回来。
以此类推。
记 T 为障碍点集合，并且其中的点具备纵坐标 y 随 x 单调不减的特性，也就是存在至少经过 T 中的障碍点的路径，记 g(T) 是至少经过 T 中的障碍点的方案数，根据容斥原理，需要在 S(1, 1, n + 1, m + 1) 的基础上增加或减去的项为
当 |T| 为奇数时，需要减去，当 |T| 为偶数时，需要加回来。
最终答案就是
g(T) 的求法也比较直接，假设其中有 k 个点，那么
(3) 组合枚举
现在的问题就剩下一个：如何枚举 T
这个问题的具体做法是，将 K 个障碍点以 x 为第一关键字，y 为第二关键字排序，排序后的 K 个障碍点分别为 p1, p2, …, pK。
这样的话，给定某个障碍点 pi, 只有当 j > i 时，才有可能有路径同时经过 pi 和 pj。
所以对于给定的障碍点个数 k，我们只需要从 K 中选出 k 就可以了，共有 C(K, k) 种选法，对于每一种选法，只能有一种经过障碍点的先后顺序是合法的。
当我们枚举所有可能的 k 后，总的选法为
由于 K <= 20，这是可以的。
现在问题变成了，如何枚举组合，也就是给定 k 的时候，如何枚举从 K 中选 k 个的方案。这实际上是 leetcode 的一道题，77. 组合，见下面链接。
题目: 77. 组合
链接: https://leetcode-cn.com/problems/combinations/
它的解法有三种
DFS
递推，也就是利用组合的递推式 C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k - 1)
二进制字典序
具体的可以过程可以参考下面这篇文章。
文章: 枚举
链接: https://chengzhaoxi.xyz/17699.html
但是这里我们可以做的更简单一点，因为我们需要把所有的 1 <= k <= K 都枚举一遍组合，前面提到过总的枚举量为 2^K - 1，这实际上是子集型枚举。
我们直接枚举 1 <= subset < (1 << K)，其中 subset >> i & 1 为 1 就表示第 i 个(从 0 开始计)障碍点在子集中。
(4) 卢卡斯定理
现在还有最后一个问题，就是如何求大组合数模质数，也就是给定两个障碍点 (xi, yi), 和 (xj, yj)，如何求出它们之间路线的方案数模上 MOD 的值。
当 n, m 很大的时候要求 C(n, m) 模 p 的值，需要用到卢卡斯定理:
若 p 是质数，对于任意整数 1 <= m <= n, 有:
即把 m, n 表示成 p 进制数，对 p 进制下的每一位分别计算组合数，最后再乘起来。证明需要用到母函数理论。由于这里 p 较小，且要频繁调用，因此用预处理 [1, p] 的阶乘及其逆元，以及预处理 [1, p] 的逆元的实现方式。
关于组合数的各种求法，可以参考下面的 组合数 这篇文章；
文章: 组合数
链接: https://chengzhaoxi.xyz/40979.html
关于逆元，可以参考下面的 同余 这篇文章，
文章: 同余
链接: https://chengzhaoxi.xyz/46349.html
这里直接用代码模板, Lucas(n, m, p) 返回的就是 C(n, m) % p 的值。
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vector fac, invfac;
vector inv;
void preprocess(ll p)
{
// 预处理 [1, p) 的阶乘及其逆元
fac.assign(p, 1);
invfac.assign(p, 1);
for(int i = 2; i < p; ++i)
{
fac[i] = ((ll)fac[i - 1] * i) % p;
invfac[i] = (ll)invfac[i - 1] * inv[i] % p;
}
}
void get_inv(ll p)
{
// 预处理 [1, p) 的逆元
inv.assign(p, 1);
for(int i = 2; i < p; ++i)
inv[i] = p - ((p / i) * inv[p % i]) % p;
}
int Comb(int n, int m, int p)
{
if(n < 0 || m < 0 || n < m)
return 0;
return (ll)fac[n] * invfac[m] % p * invfac[n - m] % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
//Lucas定理求C(n,m)%p
ll ans = 1;
while(n && m && ans)
{
ans = (ans * Comb(n % p, m % p, p)) % p;
n /= p;
m /= p;
}
return ans;
}
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(5) 最终算法
至此这道题就全都做完了，完整算法如下
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step1: 将 K 个障碍点按 x 为第一关键字，y 为第二关键字排序，排序后的 K 个障碍点分别为 p1, p2, ..., pK
step2: 定义 C[i][j] := pi 到 pj 的方案数模 MOD 的值，0 <= i,j <= K + 1, 0 表示 (1, 1) 点，K + 1 表示 (n + 1, m + 1)
step3: 用卢卡斯定理预处理 C[i][j]，后面备查
step4: 初始化答案 ans = S(1, 1, n + 1, m + 1)
step5: 枚举子集 subset, 如果 subset 合法，则算 g(subset)
subset 中 1 的个数为 k
l = 0, r = -1
枚举 1 <= i <= K, 如果 subset >> (i - 1) & 1 为 1
r = i
g(subset) += C[l][r]
l = r
g(subset) += C[l][K+1]
如果 k 为奇数，ans -= g(T)，否则 ans += g(T)
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代码
代码很长但是不用被吓到，因为里面每个函数都是前面讲过的内容。其中有的是直接用了代码模板，没有展开讲。感兴趣的可以找些资料学习一下。
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#include
#include
#include
using namespace std;
using ll = long long;
const int MOD = 59393;
struct Point
{
int x, y;
Point(){}
Point(int x, int y):x(x),y(y){}
bool operator<(const Point& p) const
{
if(x == p.x)
return y < p.y;
return x < p.x;
}
};
// (4) 卢卡斯定理 + 预处理
vector fac, invfac;
vector inv;
void preprocess(ll p)
{
// 预处理 [1, p) 的阶乘及其逆元
fac.assign(p, 1);
invfac.assign(p, 1);
for(int i = 2; i < p; ++i)
{
fac[i] = ((ll)fac[i - 1] * i) % p;
invfac[i] = (ll)invfac[i - 1] * inv[i] % p;
}
}
void get_inv(ll p)
{
// 预处理 [1, p) 的逆元
inv.assign(p, 1);
for(int i = 2; i < p; ++i)
inv[i] = p - ((p / i) * inv[p % i]) % p;
}
int Comb(int n, int m, int p)
{
if(n < 0 || m < 0 || n < m)
return 0;
return (ll)fac[n] * invfac[m] % p * invfac[n - m] % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
//Lucas定理求C(n,m)%p
ll ans = 1;
while(n && m && ans)
{
ans = (ans * Comb(n % p, m % p, p)) % p;
n /= p;
m /= p;
}
return ans;
}
// (1) 组合计数
int S(int x0, int y0, int x1, int y1)
{
int n = x1 - x0, m = y1 - y0;
int ans = 0;
for(int i = 0; i <= min(n, m); ++i)
{
int tmp1 = Lucas(n + m - i, i, MOD);
int tmp2 = Lucas(n + m - 2 * i, n - i, MOD);
ans = (ans + (ll)tmp1 * tmp2) % MOD;
}
return ans;
}
// (2) 容斥计数
bool check(const int subset, const vector& p, const int K)
{
int l = -1, r = -1;
for(int i = 1; i <= K; ++i)
{
if((subset >> (i - 1) & 1) == 0)
continue;
if(l == -1)
{
l = i;
continue;
}
else
{
r = i;
if(p[l].x > p[r].x)
return false;
if(p[l].y > p[r].y)
return false;
l = r;
}
}
return true;
}
int g(const int subset, const vector>& C, const int K)
{
int l = 0, r = -1;
int ans = 1;
for(int i = 1; i <= K; ++i)
{
if(subset >> (i - 1) & 1)
{
r = i;
ans = (ans * (ll)C[l][r]) % MOD;
l = r;
}
}
ans = (ans * (ll)C[l][K + 1]) % MOD;
return ans;
}
int inclusion_exclusion(const vector& p, const vector>& C, const int K)
{
vector ones(1 << K, 0);
for(int subset = 1; subset < (1 << K); ++subset)
ones[subset] = ones[subset >> 1] + (subset & 1);
int ans = 0;
for(int subset = 1; subset < (1 << K); ++subset)
{
// (3) 枚举组合
if(!check(subset, p, K))
continue;
int sign = 1;
if(ones[subset] & 1)
sign = -1;
ans = (ans + sign * g(subset, C, K) + MOD) % MOD;
}
return ans;
}
int main()
{
int n, m, K;
cin >> n >> m >> K;
get_inv(MOD);
preprocess(MOD);
vector p(K + 2);
p[0] = Point(1, 1);
p[K + 1] = Point(n + 1, m + 1);
for(int i = 1; i <= K; ++i)
{
int x, y;
cin >> x >> y;
p[i] = Point(x, y);
}
// step1
sort(p.begin(), p.end());
// step2
vector> C(K + 2, vector(K + 2, -1));
// step3
for(int i = 0; i <= K; ++i)
for(int j = i + 1; j <= K + 1; ++j)
C[i][j] = S(p[i].x, p[i].y, p[j].x, p[j].y);
// step4
int ans = C[0][K + 1];
// step5
ans = ((ll)ans + inclusion_exclusion(p, C, K)) % MOD;
cout << ans << endl;
}
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总结
今天分享的两道题都不是 leetcode 上的，不过我认为知识密度很高，基本上一个题把组合数学中常见的操作覆盖全了，值得研究。求组合数这件事其实是值得单独学习一下的，首先它有很多种方法(之前写过的就有6种)，每种方法都有各自的适用场景。并且 leetcode 上也有几道题，虽然不多，但还是有的，这块也在以后的写作计划中。
leetcode 题目列表系列快写完了，今年会多写一些这种平时遇到的好题。大家刷 leetcode 的可以关注一下下面的仓库，里面已经有了 1700 多题的代码和对应的题目列表梳理。后续如果刷了新题或者参加了周赛，里面的代码会同步更新。
https://github.com/FennelDumplings/leetcode-maxed_out
● 【面试好题】子数组和排序后的区间和
● 【概率面试题连载】24. 选票盒
● 【动态规划的优化】2.哈希表优化DP
