图像的傅里叶变换和反变换(需要考虑图像旋转、平移时的变换)
图像的傅里叶变换和反变换
二维离散傅里叶变换(Two-Dimensional Discrete Fourier Transform)常用于图像处理中,对图像进行傅里叶变换后得到其频谱图。频谱图中频率高低表征图像中灰度变化的剧烈程度。图像中边缘和噪声往往是高频信号,而图像背景往往是低频信号。我们在频率域内可以很方便地对图像的高频或低频信息进行操作,完成图像去噪,图像增强,图像边缘提取等操作。图像(M*N)的二维离散傅立叶变换可以将图像由空间域变换到频域中去,空间域中用 x,y 来表示空间坐标,频域由 u,v 来表示频率,二维离散傅立叶变换的公式如下:
图像长 M,高 N。F(u,v)表示频域图像,f(x,y)表示时域图像。u 的范围为[0,M-1],v 的范围为[0,N-1]。
对二维图像进行傅里叶逆变换式子如下:
图像长 M,高 N。f(x,y)表示时域图像, F(u,v)表示频域图像。x 的范围为[0,M-1],y 的范围为[0,N-1]。
在 python 中,numpy 库的 fft 模块有实现好了的二维离散傅立叶变换函数,函数是 fft2,输入一张灰度图,输出经过二维离散傅立叶变换后的结果,但是具体实现并不是直接用上述公式,而是用快速傅立叶变换。结果需要通过使用 abs 求绝对值才可以进行可视化,但是视觉效果并不理想,因为傅立叶频谱范围很大,所以要用 log 对数变换来改善视觉效果。
在使用 log 函数的时候,要写成 log(1 + x) 而不是直接用 log(x),这是为了避开对 0 做对数处理。另外,图像变换的原点需要移动到频域矩形的中心,所以要对 fft2 的结果使用 fftshift 函数。最后也可以使用 log 来改善可视化效果。
运行代码说明
1.要改变代码中的图片地址(地址不能有中文)
更改
put(path)
函数中的路径put(r'../image/image1.jpg')
2.注意最后的
plt.savefig('1.new.jpg')
是保存plt图像,如果不使用可以注释掉
import os
import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
def put(path):
img = cv2.imread(path, 1)
# img = cv2.imread(os.path.join(base, path), 1)
img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
rows, cols = img.shape[:2]
# 傅里叶变换
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 将频谱低频从左上角移动至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
# 频谱图像双通道复数转换为0-255区间
res1 = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
# 傅里叶逆变换
ishift = np.fft.ifftshift(dft_shift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:, :, 0], iimg[:, :, 1])
# 图像顺时针旋转60度
M = cv2.getRotationMatrix2D((cols / 2, rows / 2), -60, 1)
rot = cv2.warpAffine(img, M, (rows, cols))
# 傅里叶变换
dft3 = cv2.dft(np.float32(rot), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift3 = np.fft.fftshift(dft3)
res3 = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift3[:, :, 0], dft_shift3[:, :, 1]))
# 傅里叶逆变换
ishift3 = np.fft.ifftshift(dft_shift3)
iimg3 = cv2.idft(ishift3)
res4 = cv2.magnitude(iimg3[:, :, 0], iimg3[:, :, 1])
# 图像向右平移
H = np.float32([[1, 0, 200], [0, 1, 0]])
tra = cv2.warpAffine(img, H, (rows, cols))
# 傅里叶变换
dft2 = cv2.dft(np.float32(tra), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift2 = np.fft.fftshift(dft2)
res5 = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift2[:, :, 0], dft_shift2[:, :, 1]))
# 傅里叶逆变换
ishift2 = np.fft.ifftshift(dft_shift2)
iimg2 = cv2.idft(ishift2)
res6 = cv2.magnitude(iimg2[:, :, 0], iimg2[:, :, 1])
# 输出结果
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.subplot(331), plt.imshow(img, plt.cm.gray), plt.title('原图灰度图像'),plt.axis('off')
plt.subplot(332),plt.imshow(res1,plt.cm.gray),plt.title('傅里叶变换'),plt.axis('off')
plt.subplot(333),plt.imshow(res2,plt.cm.gray),plt.title('傅里叶反变换'),plt.axis('off')
plt.subplot(334),plt.imshow(rot,plt.cm.gray),plt.title('图像旋转'),plt.axis('off')
plt.subplot(335),plt.imshow(res3,plt.cm.gray),plt.title('傅里叶变换'),plt.axis('off')
plt.subplot(336),plt.imshow(res4,plt.cm.gray),plt.title('傅里叶反变换'),plt.axis('off')
plt.subplot(337),plt.imshow(tra,plt.cm.gray),plt.title('图像平移'),plt.axis('off')
plt.subplot(338),plt.imshow(res5,plt.cm.gray),plt.title('傅里叶变换'),plt.axis('off')
plt.subplot(339),plt.imshow(res6,plt.cm.gray),plt.title('傅里叶反变换'),plt.axis('off')
# plt.savefig('1.new.jpg')
plt.show()
# 处理函数,要传入路径
put(r'../image/image3.jpg')