第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.2 线性时不变系统

如果系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则称该系统为时不变系统

    如果

                                                        

若对于任意整数 ，时不变系统一定满足：

                                                  

如果线性系统对输入序列的运算关系L[.]在整个运算过程中不随时间变化,则称为 线性时不 变 (Linear time invariant, LTI) 系统

➢ 设系统的输入 x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的 初始状态为零 ，定义这种条件下系统输出为 系统的单位脉冲响应 ，用h(n)表示。即系统的单位脉冲响应就是系统对于单位脉冲序列 的零状态响应

                                                  

➢ 任意输入x(n)经过 线性系统 时的输出 y(n)表示如下:

 

◆ LTI系统输出与输入之间的关系

设系统的输入序列为 ，将它表示成单位脉冲序列的移位加权和：

                                          

 

那么系统的输出序列为

例 2.2.1 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统

  解：

因此该系统不是时不变系统

◆ 系统的性质

   系统的因果性和稳定性是保证系统物理可实现和正常运行的重要条件

◆ 因果系统：系统 n 时刻的输出，只取决于 n 时刻以及 n 时刻以前的输入，而与 n 时刻以后的输入序列无关

如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，（ 系统无法实现 ），则系统被称为非因果系统

因此系统的因果性是指系统的物理可实现性

因为单位脉冲响应是输入为δ(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n<0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此离散时间LTI系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应 h(n) 满足下式：

                h(0)=0，n < 0

◆ 稳定性

    所谓稳定系统，是指系统有界输入时，即 系统输出也是有界的，即 （ BIBO,bounded input bounded output）

◆ 系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为

                                             

系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列

系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列

例 2.2.2设线性时不变系统的单位取样响应 ，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性

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