图解AI数学基础 | 概率与统计

作者：韩信子@ShowMeAI
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1.概率论及在AI中的使用

概率（Probability），反映随机事件出现的可能性大小。事件\(A\)出现的概率，用\(P(A)\)表示。

概率论（Probability Theory），是研究随机现象数量规律的数学分支，度量事物的不确定性。

机器学习大部分时候处理的都是不确定量或随机量。因此，相对计算机科学的其他许多分支而言，机器学习会更多地使用概率论。很多典型的机器学习算法模型也是基于概率的，比如朴素贝叶斯（Naive Bayesian）等。

在人工智能领域，概率论有广泛的应用：

• 可以借助于概率方法设计算法（概率型模型，如朴素贝叶斯算法）。
• 可以基于概率与统计进行预测分析（如神经网络中的softmax）。

2.随机变量（Random Variable）

简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现，是可以『随机』地取不同值的『变量』。通常，用大写字母来表示随机变量本身，而用带数字下标的小写字母来表示随机变量能够取到的值。

• 例如，\(X\)为随机变量，\(x_{1}\)、\(x_{2}\)、\(x_{i}\)是随机变量\(X\)可能的取值。

随机变量可以分为『离散型随机变量』和『连续型随机变量』：

• 离散型随机变量（discrete random variable）：即在一定区间内变量取值为有限个（或可数个）。例如，某地区某年的出生人口数。

• 连续型随机变量（continuous random variable）：即在一定区间内变量取值为无限个（或数值无法一一列举出来）。例如，某地区男性健康成人的体重值。

3.随机向量（Random Vector）

将几个随机变量按顺序放在一起，组成向量的形式，就是随机向量。

在样本空间全部都一样的情况下，一个\(n\)维的随机向量是\(x \overrightarrow{(\xi)}=\left(\begin{array}{c} x_{1}(\xi) \\ x_{2}(\xi) \\ \cdots \\ x_{n}(\xi) \end{array}\right)\)

其中，\(\xi\)就是样本空间中的样本点。随机变量是１维随机向量的特殊情况。

4.概率分布（Probability Distribution）

广义上，概率分布用于表述随机变量取值的概率规律。或者说，给定某随机变量的取值范围，概率分布表示该随机事件出现的可能性。

狭义地，概率分布指随机变量地概率分布函数，也称累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）。

离散型随机变量的概率分布：

• 使用分布列描述离散型随机变量的概率分布，即给出离散型随机变量的全部取值及每个值的概率。

• 常见的离散型随机变量的分布有：单点分布、0-1分布、几何分布、二项分布、泊松分布等。

连续型随机变量的概率分布：

如果随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，存在非负函数\(f (x)\)使对于任意实数\(x\)有\(F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t\)，则称\(X\)为连续型随机变量 ，其中函数\(f(x)\)称为\(X\)的概率密度函数。

常见的连续型随机变量的分布有：正态分布、均匀分布、指数分布、\(t-\)分布、\(F-\)分布、\(\xi^{2}-\)分布等。

机器学习中一个典型的概率分布应用，是分类问题中，很多模型最终会预估得到样本属于每个类别的概率，构成1个概率向量，表征类别概率分布。

5.条件概率（Conditional Probability）

很多情况下我们感兴趣的是，某个事件在给定其它事件发生时出现的概率，这种概率叫条件概率。

给定\(A\)时\(B\)发生的概率记为\(P(B \mid A)\)，概率的计算公式为：\(P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}\)

6.贝叶斯公式（Bayes’ Theorem）

先看看什么是“先验概率”和“后验概率”，以一个例子来说明：

先验概率：某疾病在人群中发病率为0.1%，那某人没有做检验之前，预计患病率为\(P(\text { 患病 })=0.1 \%\)，这个概率就叫做『先验概率』。

后验概率：该疾病的检测准确率为95%，即该病患者检测显示阳性的概率为95%（检测显示阴性的概率为5%），即\(P(\text { 显示阳性|患病 })=95\%\)；或者说未患病的检测者，检测结果显示阴性的概率为95%，检测显示阳性的概率为5%。那么，检测显示为阳性时，此人的患病概率\(P(\text { 患病| 显示阳性})\)就叫做『后验概率』。

贝叶斯公式：贝叶斯提供了一种利用『先验概率』计算『后验概率』的方法：

• 条件概率公式：\(P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}\)，\(P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}\)

• 由条件概率公式变换得到乘法公式：\(P(A B)=P(B \mid A) P(A)=P(A \mid B) P(B)\)

• 将条件概率公式和乘法公式结合：\(P(B \mid A)=\frac{P(A \mid B) \cdot P(B)}{P(A)}\)

• 引入全概率公式：\(P(A)=\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)\)

• 将全概率代入\(P(B \mid A)\)，可以得到贝叶斯公式：\(P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{N} P\left(A \mid B_{i}\right) \cdot P\left(B_{i}\right)}\)

上述例子的计算结果：
\(\begin{aligned} P(\text { 患病 } \mid \text { 显示阳性 }) &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性 })} \\ &=\frac{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })}{P(\text { 显示阳性|患病 }) P(\text { 患病 })+P(\text { 显示阳性|无病) } P(\text { 无病 })} \\ &=\frac{95 \% * 0.1 \%}{95 \% * 0.1 \%+5 \% * 99.9 \%}=1.86 \% \end{aligned}\)

贝叶斯公式贯穿了机器学习中随机问题分析的全过程。从文本分类到概率图模型，其基本分类都是贝叶斯公式。

期望、方差、协方差等主要反映数据的统计特征。机器学习的一个很大应用就是数据挖掘等，因此这些基本的统计概念也是很有必要掌握。另外，像后面的EM算法中，就需要用到期望的相关概念和性质。

7.期望（Expectation）

在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。期望是最基本的数学特征之一，反映随机变量平均值的大小。

假设\(X\)是一个离散型随机变量，其可能的取值有\(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\}\)，各取值对应的概率取值为\(P\left(x_{k}\right)\)，\(k=1, 2, \ldots, n\)。其数学期望被定义为：

\[E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} P\left(x_{k}\right) \]

假设\(x\)是一个连续型随机变量，其概率密度函数为\(f(x)\)，其数学期望被定义为：

\[E(x)=\int_{-\boldsymbol{\omega}}^{+\boldsymbol{w}} x f(x) d x \]

8.方差（Variance）

在概率论和统计学中，样本方差，是各个样本数据分别与其平均数之差的平方和的平均数。方差用来衡量随机变量与其数学期望之间的偏离程度。

离散型：（\(\mu\)表示期望）

\[D(X)=\sum_{k=1}^{n} \left(x_{k}-\mu\right)^{2} \]

一个快速计算方差的公式（即平方的期望减去期望的平方）：

\[D(X)=E\left\{[X-E(X)]^{2}\right\}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \]

连续型：（\(\mu\)表示期望）

\[D(x)=\int(x-\mu)^{2} f(x) d x \]

9.协方差（Covariance）

在概率论和统计学中，协方差被用于衡量两个随机变量\(X\)和\(Y\)之间的总体误差。期望值分别为\(E[X]\)与\(E[Y]\)的两个实随机变量\(X\)与\(Y\)之间的协方差为：

\[Cov(X,Y) =E { [X-E(X)][Y-E(Y)] } =E(XY)-E(X)E(Y) \]

以下是几个常用等式：
\(Cov(X, Y)=Cov(Y, X)\)
\(Cov(X, X)=D(X)\)
\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X, Y)\)
\(Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)\)

10.相关系数（Correlation coefficient）

相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，用以研究变量之间线性相关程度。相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。从协方差中会得到引申，就是关联系数，即：（\(\sigma\)是标准差）

\[\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma _{x} \sigma _{y}} \]

这个公式还有另外的一个表达形式：

\[\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} \]

11.常见分布函数

1）伯努利分布（Bernoulli Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，伯努利分布也叫0-1分布，是单个二值型离散随机变量的分布。

• 概率分布函数：\(P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}\)
• 期望：\(E(X)=p\)
• 方差：\(D(X)=p(1-p)\)

2）几何分布（Geometric Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，几何分布是离散型概率分布，数学符号为\(X\sim G(p)\)。其定义为：在\(n\)次伯努利试验中，试验\(k\)次才得到第一次成功的机率（即前\(k-1\)次皆失败，第\(k\)次成功的概率）

• 概率分布函数：\(P(X=k)=(1-p)^{k-1} p\)
• 期望：\(E(X)=\frac{1}{p}\)
• 方差：\(D(X)=\frac{1-p}{p^{2}}\)

3）二项分布（Binomial Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，二项分布即重复\(n\)次伯努利试验，各次试验之间都相互独立，并且每次试验中只有两种可能的结果，而且这两种结果发生与否相互对立，数学符号为\(X∼B(n,p)\)。

如果每次试验时，事件发生的概率为\(p\)，不发生的概率为\(1-p\)，则\(n\)次重复独立试验中发生\(k\)次的概率为：\(P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)

• 期望：\(E(X)=n p\)

• 方差：\(D(X)=n p(1-p)\)

4）泊松分布（Poisson Distribution）（离散型）

在概率论和统计学中，泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，用于描述某段时间内事件具体的发生概率，数学符号为\(X∼\pi \left ( \lambda \right )\)。

泊松分布的参数\(\lambda\)表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数，其概率分布函数为：\(P(X=k)=\frac{(\lambda )^{k} e^{-\lambda}}{k !}\)

• 期望：\(E(X)=\lambda\)
• 方差：\(D(X) = \lambda\)

例如，某医院平均每小时出生2.5个婴儿（ λ=2.5 ），那么接下来一个小时，会出生几个婴儿？

• 没有婴儿出生（\(k=0\)）的概率为：\(P(X=0)=\frac{(2.5)^{0} \cdot e^{-2.5}}{0 !} \approx 0.082\)

• 有1个婴儿出生（\(k=1\)）的概率为：\(P(X=1)=\frac{(2.5)^{1} \cdot e^{-2.5}}{1 !} \approx 0.205\)

• 有2个婴儿出生（\(k=2\)）的概率为：\(P(X=2)=\frac{(2.5)^{2} \cdot e^{-2.5}}{2 !} \approx 0.257\)

k	0	1	2	···
p	0.082	0.205	0.257	···

通常，柏松分布也叫等待概率，是一种比二项分布应用场景更为丰富的概率模型，在数控、电商优化中也经常能见到它的影子。

5）正态分布（Normal Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，正态分布又叫高斯分布（Gaussian Distribution），其曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。数学符号为\(X∼N\left(\mu, \sigma^{2}\right)\)。

若随机变量\(X\)服从一个数学期望为\(\mu\)、方差为\(\sigma^{2}\)的正态分布，其概率分布函数：\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\)

• 期望：\(E(X)=\mu\)
• 方差：\(D(X)=\sigma^{2}\)

6）均匀分布（Uniform Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。

均匀分布由两个参数\(a\)和\(b\)定义，数学符号为\(X∼U (a, b)\)（其中，\(a\)为数轴上较小值，\(b\)为数轴上较大值）。

其概率分布函数：$f(x)=\frac{1}{b-a} , a

• 期望：\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)
• 方差：\(D(X) = \frac{(b-a)^{2}}{12}\)

7）指数分布（Exponential Distribution）（连续型）

在概率论和统计学中，指数分布与其他分布的最大不同之处在于，随机变量\(X\)指的是不同独立事件发生的时间间隔值，时间越长事件发生的概率指数型增大(减小)，数学符号为\(X∼E(\lambda)\)。

指数分布的参数\(\lambda\)表示单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数，其概率分布函数为：\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0\)

• 期望：\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)
• 方差：\(D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}\)

在我们日常的消费领域，通常的目的是求出在某个时间区间内，会发生随机事件的概率有多大。如：银行窗口服务、交通管理、火车票售票系统、消费市场研究报告中被广泛运用。

例如：某医院平均每小时出生2.5个婴儿（ λ=2.5 ）。如果到下一个婴儿出生需要的间隔时间为 t (即时间 t 内没有任何婴儿出生）。

• 间隔15分钟（\(X=\frac{1}{4}\)）后才有婴儿出生的概率为：\(f(\frac{1}{4}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{4}} \approx 0.9197\)
• 间隔30分钟（\(X=\frac{1}{2}\)）后才有婴儿出生的概率为：\(f(\frac{1}{2}) = 2.5 e^{-2.5 \cdot \frac{1}{2}} \approx 0.7163\)

一些总结：

12.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）

在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。

在机器学习的过程中，我们经常遇到在有限制的情况下，最大化表达式的问题。如：
\(maxf(x,y）s.t. \quad g(x,y)=0\)

此时我们可以构造\(L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right )\)，其中\(\lambda\)称为拉格朗日乘子。接下来要对拉格朗日函数\(L(x,y,\lambda )\)求导，令其为0，解方程即可。

以下是图文解释：

红线标出的是约束\(g(x,y)=c\)的点的轨迹。蓝线是\(f(x,y)\)的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行，从梯度的方向上来看显然有\(d_{1}>d_{2}\)。

红色的线是约束。如果没有这条约束，\(f(x,y)\)的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。现在加上了约束，正好落在这条红线上的点才可能是满足要求的点。也就是说，应该是在\(f(x,y)\)的等高线正好和约束线\(g(x,y)\)相切的位置。

对约束也求梯度\(\nabla g(x,y)\)（如图中红色箭头所示），可以看出要想让目标函数\(f(x,y)\)的等高线和约束相切\(g(x,y)\)，则他们切点的梯度一定在一条直线上。也即在最优化解的时候\(\nabla f(x,y)=λ \nabla g(x,y)-C\)，即\(\nabla [f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0,λ≠0\)。

那么拉格朗日函数\(L(x,y,\lambda )=f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right )\)在达到极值时与\(f(x,y)\)相等，因为\(F(x,y)\)达到极值时\(g(x,y)−c\)总等于零。

简单的说，\(L(x,y,λ)\)取得最优化解的时候，也就是\(L(x,y,λ)\)取极值的时候。此时\(L(x,y,λ)\)的导数为0，即\(\nabla L(x,y,\lambda )=\nabla \left [ f(x,y) − \lambda \left ( g(x,y) -c \right ) \right ] =0\)，可以得出\(f(x,y)\)与\(g(x,y)\)梯度共线，此时就是在条件约束\(g(x,y)\)下，\(f(x,y)\)的最优化解。

在支持向量机模型（SVM）的推导中，很关键的一步就是利用拉格朗日对偶性，将原问题转化为对偶问题。

13.最大似然估计（Maximum Likelihood Estimate）

最大概似估计（MLE）是一种粗略的数学期望，指在模型已定、参数\(\theta\)未知的情况下，通过观测数据估计未知参数\(\theta\)的一种思想或方法。

最大似然估计的哲学内涵就是：我们对某个事件发生的概率未知，但我们做了一些实验，有过一些对这个事件的经历(经验)，那么我们认为，这个事件的概率应该是能够与我们做的实验结果最吻合。当然，前提是我们做的实验次数应当足够多。

举个例子，假设我们要统计全国人口的身高。首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值。

最大似然函数的求解思想是：给定样本取值后，该样本最有可能来自参数\(\theta\)为何值的总体。即：寻找\(\bar{\theta}_{M LE}\)使得观测到样本数据的可能性最大。
最大似然函数估计值的一般求解步骤是：

• 写出似然函数\(L\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right)=\left\{\begin{array}{l} \prod_{i=1}^{n} p\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \\ \prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta_{1}, \theta_{2}, \cdots, \theta_{n}\right) \end{array}\right.\)
• 对似然函数取对数
• 两边同时求导数
• 令导数为0解出似然方程

在机器学习中也会经常见到极大似然的影子。比如后面的逻辑斯特回归模型（LR），其核心就是构造对数损失函数后运用极大似然估计。

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