蓝桥杯 试题 算法训练 印章
试题 算法训练 印章
动态规划：
资源限制
时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB
问题描述
共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。
输入格式
一行两个正整数n和m
输出格式
一个实数P表示答案，保留4位小数。
样例输入
2 3
样例输出
0.7500
数据规模和约定
1≤n，m≤20
题目意思简洁明了。。。。
动态规划：
1.设置状态（看是一维数组还是二维数组，一般的题目都是二维数组，经验之谈）
2.找状态之间的关系，
3.写代码
这其中1,2是最难的，首先把状态想出来这一步就可以劝退很多人了，怎么想状态呢，把我平时做dp的思路跟你们说一下：
首先看题目，有买的印章数和印章种数两个变量，就自然而然地想成二维数组dp[i] [j]，数组有了。状态呢？题目要求的是概率嘛，那我们dp数组的值就是概率。那么，i，j怎么说呢？题目说了小A买了m张，要凑齐n种，那么我们就设：dp[i] [j]表示买 i 张凑齐 j 种印章的概率。
这样，状态就大致想出来了！（为什么是大致？因为不确定我们的思路是不是对的，状态是根据题意、经验和感觉设想出来的），可能就是要多做吧。
状态设想出来，二维数组的表格先画出来（如上图）。然后寻找初始状态（一般都是i == 1,2,3或者j == 1,2,3这种i，j的值很小的）。
题目中有 n 种印章, 每种概率是 1/n;
先来看i
再来看j=1的时候：
i=1：dp[i] [1]表示的意思是买 i 张凑齐 1 种的概率，很明显 i == 1 && j == 1 的时候dp[1] [1] = 1，因为你买一张是无论如何都可以凑齐一种的，是吧。
i > 1：i > 1 && j == 1. 意思就是买 i 张凑齐 1 种印章的概率，意味着买的这 i 张印章是同一种，概率就是 (1/n)^i，但是，我们这 i 张要么是第一种，要么是第二种…( 要么是第k种 ，1 <= k <= n )。最后还要乘上n，所以这个情况 dp[i] [j] = (1/n)^(i-1)
初始状态大致就上面这些了：↑
最后来看中间的状态 dp[i] [j]：
我们买的第 i 张，有两种状态，一：跟前面买的 i-1 张中有重复的 二：跟前面买的 i-1 张中没有重复的
什么意思呢？ 比如：(总共有5种印章，标号1,2,3,4,5) 我正在买第5张，前面四张凑齐了1,2,3,4号，那么第5张如果也是1,2,3,4号中的一个就表示重复的；如果第5张是5号，就表示没有重复的。
一：有重复的：就表明前面买的 i-1 张，已经凑齐了 j 种。dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * ( j / n ); j/n是什么意思？
二：无重复的
前面买的 i-1 张 凑齐了 j-1 种， 我们买的第 i 张与前面的不重复，就又凑齐了一种：
dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] * (n-j+1) / n;
然后把两种情况加起来就是dp[i] [j] 的概率了！！
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double dp[25][25], p;
int main()
{
//记住是小数啊，要*1.0进行类型转换的
int n, m;
cin >> n >> m;
p = 1.0 / n; //每种出现的概率
for ( int i = 1; i <= m; ++i ) {
for ( int j = 1; j <= n; ++j ) {
if ( i < j ) dp[i][j] = 0;
if ( j == 1 ) {
dp[i][j] = pow (p, i-1); //p^(i-1)
}
else {
dp[i][j] = dp[i-1][j] * (j*1.0/n) + dp[i-1][j-1] * ((n-j+1)*1.0/n);
}
}
}
// cout << "dp\n";
// for ( int i = 1; i <= m; ++i ) {
// for ( int j = 1; j <= n; ++j ) {
// printf("%.2lf ",dp[i][j]);
// }
// cout << endl;
// }
printf("%.4lf ",dp[m][n]);
return 0;
}
总结：
1.数组确定（一维，还是二维，三维，n维也有…一般没有）
2.数组值（题目求什么，我们数组表示的值一般就是什么）
3.状态设想 （dp[i] [j]表示 什么什么 i 什么什么 的时候， 什么什么 j 什么什么的时候 的 值）
4.初始状态（就是找特殊值，i=1,2,3 j=1,2,3）
5.中间状态 （ i, j 与 i-1, i-2, j-1, j-2…）
6.写代码