【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树？以及二叉树有哪些基操
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精品专栏（不定时更新）【JavaSE】 【Java数据结构】【LeetCode】
【Java数据结构】二叉树到底是什么品种的树？以及二叉树有哪些基操
- 树型结构
-
- 概念
- 树的表示形式
- 树的应用
- 二叉树（重头戏）
-
- 概念
- 二叉树的基本形态
- 两种特殊的二叉树
- 二叉树的性质
- 二叉树的储存
- 二叉树的遍历（前中后序）
-
- 层序遍历
- 利用层序遍历，判断一棵树是不是完全二叉树
- 二叉树的基本操作
树型结构
概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的节点，称为根节点，
根节点没有前驱节点 - 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i
<= m)又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 - 树是
递归定义的。
-
节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
-
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
-
叶子节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点；
-
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
-
孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
-
根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；
-
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
-
树的高度或深度： 树中节点的最大层次；
-
非终端节点或分支节点： 度不为0的节点；
-
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
-
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
-
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；
-
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
-
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
树的表示形式
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。
这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
树的应用
- 文件系统管理（目录和文件）等
二叉树（重头戏）
概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 每个结点
最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。 - 二叉树的子树有
左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
二叉树的基本形态
上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：
空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在
一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。
两种特殊的二叉树
- 满二叉树: 一个二叉树，如果
每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。 - 完全二叉树: 完全二叉树是
效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上
最多有2^(i-1) (i>0)个结点 - 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的
最大结点数是2^k -1 (k>=0) - 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
- 具有n个结点的完全二叉树的
深度k为log2(n+1) 向上取整 - 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
①若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
②若2i+1
比如一道例题： 假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中__500__ 个叶子节点，__ 500___ 个非叶子节点 ， __ 1 __ 个节点只有左孩子 ，__0__个只有右孩子。
问题解析：
- 总共有多少层？k=log2(1000+1) =10层
- 如果是10层，那么放满也就是满二叉树，总共2^10-1 = 1023个节点，但是现在只有1000个，那么说明当前这个树，不是满二叉树
- 第10层肯定是没放满的！！！
- 说明第9层肯定放满了
- 那前9层共有多少个节点呢？2^9-1 = 511个
- 所以第10层有1000-511=489个节点，都是叶子节点
- 现在就要考虑一个问题，第10层的节点是由多少个第9层节点产生的？489/2=244.5取245个
- 第9层这一层有多少个节点？2^(9-1) = 256个
- 所以第9层有245个节点是有孩子的，其中有1个节点只有一个左孩子，所以第9层的叶子节点有256-245=11个,第9层第10层的叶子节点共有11+489 =500个
二叉树的储存
二叉树的存储结构分为：
顺序存储和类似于链表的链式存储
本文先介绍链式储存
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，
孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
二叉树的遍历（前中后序）
所谓 遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
-
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
-
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
-
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。 实现代码在后边基本操作里
层序遍历
层序遍历嘛，就是按层，从上到下，从左到右遍历，这个没啥好说的。
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
代码实现： 设置一个队列，利用队列先入先出的性质实现层序遍历，每出队一个节点，就判断这个节点是否有左右孩子节点，如果有，就将孩子节点入队
// 层序遍历
public void levelOrderTraversal(TreeNode root){
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
if (root==null){
return ;
}
queue.offer(root);//一开始先将第一个根节点入队
while(!queue.isEmpty()) {//一直弹出队列首元素，直到队列空为止
TreeNode top = queue.poll();//记录每次弹出的节点
System.out.print(top.value);
if (top.left != null) {//判断当前弹出的节点是否有左孩子
queue.offer(top.left);
}
if (top.right != null) {//判断当前弹出的节点是否有右孩子
queue.offer(top.right);
}
}
}
利用层序遍历，判断一棵树是不是完全二叉树
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
//利用层序遍历，利用队列
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
//只要队列不为空就出列队头节点
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode top = queue.poll();
if(top != null) {//如果出列的节点不为空
queue.offer(top.left);//将节点的左节点入队
queue.offer(top.right);//将节点的右节点入队
}else{
break;//如果出来的节点是空，就跳出当前循环
}
}
//出列节点为空，或者队列空了
while (!queue.isEmpty()) {//队列不为空
TreeNode cur = queue.peek();//创建一个临时节点，查看队列对头结点，不是出队
if(cur == null) {//如果现在队头节点为空
queue.poll();//就弹出队头节点
}else {//因为前边已经弹出过空节点了，再遇到不为空的节点的话
return false;//说明二叉树不是完全二叉树
}
}
return true;//队列空了，说明是完全二叉树
}
二叉树的基本操作
前中后序遍历原理非常相似,都是采取递归思想，就是先判断当前根节点是否为空，然后三行代码交换位置玩，一行代表当前根节点的操作，一行代表左孩子节点，一行代表右孩子节点，每递归一次，左孩子节点或者右孩子节点就变成了当前递归方法中的当前根节点，他们继续访问他们的孩子节点，无限套娃，直到遇到空节点，再层层返回
// 前序遍历 public void preOrderTraversal(TreeNode root){ if (root==null){ return; } System.out.print(root.value+" "); preOrderTraversal(root.left); preOrderTraversal(root.right); } // 中序遍历 public void inOrderTraversal(TreeNode root){ if (root==null){ return; } inOrderTraversal(root.left); System.out.print(root.value+" "); inOrderTraversal(root.right); } // 后序遍历 public void postOrderTraversal(TreeNode root){ if (root==null){ return; } postOrderTraversal(root.left); postOrderTraversal(root.right); System.out.print(root.value+" "); }
求节点个数，其实最简单的就是采用前序遍历，每遍历一个节点，计数器size就加一，遍历完所有节点，size值就是节点的个数
// 遍历思路-求结点个数 前序遍历 static int size=0; public void getSize1(TreeNode root){ if (root==null){ return; } size++; getSize1(root.left); getSize1(root.right); }
还有一种方法求节点个数，子问题思路，整棵树的节点=左子树节点+右子树节点，把每个节点和它的孩子节点，看成一个整体，大事化小
// 子问题思路-求结点个数 public int getSize2(TreeNode root){ if (root==null){ return 0; } return getSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1; }
遍历思路求叶子节点，叶子节点就是没有孩子的节点，故设置当遍历到左孩子和右孩子都为空的时候，叶子节点树+1
// 遍历思路-求叶子结点个数 static int leafSize = 0; public void getLeafSize1(TreeNode root){ if(root == null) { return; } if(root.left == null && root.right == null) { leafSize++; } getLeafSize1(root.left); getLeafSize1(root.right); }
另一种求叶子节点数的方法和子问题求节点数的方法类似，不过要设置一个条件，左孩子和右孩子都为空的时候才返回 1，来表示当前节点是一个叶子节点
// 子问题思路-求叶子结点个数
public int getLeafSize2(TreeNode root){
if(root == null) {
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
}
求第K层节点个数其只需要多设置一个参数k就好了，请看图解
// 子问题思路-求第 k 层结点个数 public int getKLevelSize(TreeNode root,int k){ if(root == null) { return 0; } if(k == 1) { return 1; } return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1); }
查找节点也是递归思想
// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找 // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找 public TreeNode find(TreeNode root, char val) { //先从根开始找 if (root == null){ return null; } if (root.value==val){ return root; } //然后左子树找 TreeNode ret = find(root.left,val); if (ret!=null){ return ret; } //再右子树找 ret = find(root.right,val); if (ret!=null){ return ret; } return null; }
获取高度首先得知道一个递推公式
整棵树的高度 = 左子树高度 > 右子树高度?左子树高度 : 右子树高度public int getHeight(TreeNode root){ if (root==null){ return 0; } int leftHeight = getHeight(root.left); int rightHeight = getHeight(root.right); return (leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight)+1; }
完整源码如下：
public class BinaryTree {
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
// 前序遍历
public void preOrderTraversal(TreeNode root){
if (root==null){
return;
}
System.out.print(root.value+" ");
preOrderTraversal(root.left);
preOrderTraversal(root.right);
}
// 中序遍历
public void inOrderTraversal(TreeNode root){
if (root==null){
return;
}
inOrderTraversal(root.left);
System.out.print(root.value+" ");
inOrderTraversal(root.right);
}
// 后序遍历
public void postOrderTraversal(TreeNode root){
if (root==null){
return;
}
postOrderTraversal(root.left);
postOrderTraversal(root.right);
System.out.print(root.value+" ");
}
// 遍历思路-求结点个数 前序遍历
static int size=0;
public void getSize1(TreeNode root){
if (root==null){
return;
}
size++;
getSize1(root.left);
getSize1(root.right);
}
// 子问题思路-求结点个数
public int getSize2(TreeNode root){
if (root==null){
return 0;
}
return getSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1;
}
// 遍历思路-求叶子结点个数
static int leafSize = 0;
public void getLeafSize1(TreeNode root){
if(root == null) {
return;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
leafSize++;
}
getLeafSize1(root.left);
getLeafSize1(root.right);
}
// 子问题思路-求叶子结点个数
public int getLeafSize2(TreeNode root){
if(root == null) {
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
}
// 子问题思路-求第 k 层结点个数
public int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
if(root == null) {
return 0;
}
if(k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1);
}
// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
// 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
// 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
public TreeNode find(TreeNode root, char val) {
if (root == null){
return null;
}
if (root.value==val){
return root;
}
TreeNode ret = find(root.left,val);
if (ret!=null){
return ret;
}
ret = find(root.right,val);
if (ret!=null){
return ret;
}
return null;
}
// 获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root){
if (root==null){
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
//return (getHeight(root.left) > getHeight(root.right) ? getHeight(root.left)+1 : getHeight(root.right)+1);
return (leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight)+1;
}
}
public class Test {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
binaryTree.preOrderTraversal(root);
System.out.println();
binaryTree.inOrderTraversal(root);
System.out.println();
binaryTree.postOrderTraversal(root);
System.out.println();
binaryTree.getSize1(root);
System.out.println(BinaryTree.size);
System.out.println(binaryTree.getSize2(root));
System.out.println(binaryTree.getKLevelSize(root, 3));
System.out.println(binaryTree.find(root, 'H').value);
System.out.println(binaryTree.getHeight(root));
}
}
public class TreeNode {
public char value;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char value) {
this.value = value;
}
}
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