2021 CCPC 威海赛区D题 Period

2021 CCPC 威海赛区D题 Period

题意

给定一个只含有小写字母的字符串$s=s_1{s}_2{s}_3...s_n$，并进行$q$次询问。

每次询问选定一个下标$i$，将$s_i$变成$\#$，问这个变化后的字符串$s^{\prime }=s_1{s}_2..s_{i-1}\#s_{i+1}...s_n$有几个周期。
每次询问独立，即修改操作不会影响原串$s$。

思路

没学过前缀函数和字符串的周期的可以先看一下oi-wiki中的介绍。https://oi-wiki.org/string/kmp/

假设当前修改的位置为$i$，且存在周期$d$。
因为$s$中只含有小写字母，所以修改后的字符$\#$一定不会出现在其他位置，故：

• $s^{\prime }$中不会存在两个完整的周期，$2d>n$。
• $\#$字符一定存在于第一个周期，$i\le d$。
• 第二个周期中不存在$\#$字符，$d>n-i+1$。
• $s^{\prime }$的周期一定存在于$s$的周期。

因为周期的数量等同于字符串的border的数量，且周期为$\{d=n-\pi [j]\}$，所以可以通过预处理将原串$s$的周期求出，然后对于每次查询，二分出满足条件的周期$d$（$d$只需要大于某个值就均满足条件，满足单调性）。

AC的代码

#include 
using namespace std;


// 求前缀函数的模板 
vector<int> prefix_function(string s) {
	int n = s.size();
	vector<int> pi(n);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		int j = pi[i - 1];
		while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
		if (s[i] == s[j]) j++;
		pi[i] = j;
	}
	return pi;
}

string s;
int n, q; 
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin.exceptions(ios::badbit | ios::failbit);

	cin >> s;
	vector<int> pi = prefix_function(s);
	n = s.size();
	
	vector<int> vec;	// 记录所有的border
	int tmp = pi[n - 1];
	while(tmp != 0) {
		vec.push_back(n - tmp);
		tmp = pi[tmp - 1];
	}
	int k = (n + 1) / 2; // 字符串的中点 
	
	cin >> q;
	while(q--) {
		int x;
		cin >> x;
		if(x <= k) x = n + 1 - x;
		int t = lower_bound(vec.begin(), vec.end(), x) - vec.begin();
		if(t == vec.size()) cout << 0 << "\n";
		else cout << vec.size() - t << "\n";
	}
	return 0;
}