AcWing 870.约数个数（算术基本定理）

Issue：

Meaning：

1. 输出所有数乘积的约数个数

Thinking：

1. 算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N，如果 N 不为质数，那么 N 可以唯一分解成有限个质数的乘积 $N=P_1^{a_1}\times P_2^{a_2}\times P_3^{a_3}\times \cdots \times P_n^{a_n}$，这里 $P_1<P_2<P_3<\cdots <P_n$ 均为质数，其中指数 $a_i$ 是正整数；
2. 由题意可知 $N$(所有数的乘积)的约数 $d$ 可以表示为 $d=P_1^{b_1}\times P_2^{b_2}\times P_3^{b_3}\times \cdots \times P_n^{b_n}$，其中的的指数(以$b_n$为例)可以取$[0,a_n]$，也就是总共可以取到$a_n+1$个数；
3. 每一个$b_i$都有$a_i+1$ 种选择，由乘法原理，约数 $d$ 的数量为 $(a_1+1)\times (a_2+1)\times (a_3+1)\times \cdots \times (a_n+1)$
4. 时间复杂度近似$O(lo{g}_n)$

Code:

//约数个数公式:(a1+1)(a2+1)……(ak+1)
//约数之和公式:(p1^0+p1^1+……+p1^a1)(p2^0+p2^1+……+p2^a2)(pk^0+pk^1+……+pk^ak)第二行这里可以先不用看


#include 
#include 
#include    //哈希表 可以键值对的方式 也可以first/second的方式
using namespace std;

const int mod = 1e9+7;  //模

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    unordered_map<int, int>  primes;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int i=2; i<=x/i; i++)
            while(x%i==0)
            {
                x /= i;
                primes[i]++;      //存的是pi的值
            }
        if(x > 1)
            primes[x]++;
    }
    long long res = 1;
    for(auto prime : primes)
        res = res * (prime.second+1) % mod;
    cout << res << endl;
    return 0;
} 

Tips:

1. 记下约数个数公式。