期末复习-移动通信

移动通信知识总结

参考资料：
1.哈尔滨工业大学（深圳）2021年春季《移动通信》课件 by 张霆廷
2.《Wireless Communications》by Andrea Goldsmith
3.《Wireless.Communications》by Andreas F. Molisch
4.《wireless communications：Principles and Practices》by Theodore S. Rappaport

无线通信系统概述

5G的关键应用（或技术）是什么？

霆廷课上给的：

• 增强移动带宽（Enhanced Mobile Broadband，emBB）

  大宽带

• 超可靠低延迟通信（Ultra-reliable low-latency communication，URLLC）

  注意区分空口延迟和端到端延迟

• 海量机器通信（massive Machine Type Communications，mmTC）

  面向物联网海量接入

• 同时同频全双工（Co-frequency Co-time Full Duplex, CCFD）

  通过智能天线，避免收发之间的干扰

• 非正交码分多址（Non-Orthogonal Multiple Access，NOMA）

  挑战：非正交带来的干扰

  应用：海量机器通信的支撑技术

IEEE的观点：

• 毫米波（Millimeter Waves）
• 超密集蜂窝网络（Small Cell）
• 多用户多输入多输出（Massive MIMO）
• 波束成型（Beam forming）
• 同时同频全双工（Full Duplex）

蜂窝网络（Cellular Network）

为什么采用小区制？

	大区制	小区制
功率	一个大功率发射机	多个小功率发射机
频率	一个基站占用整个信道，频谱利用率低	每个基站分配系统可用信道的一部分，相邻小区使用不相邻信道，频谱利用率高。

小区制实现了频率的复用，从而提高了系统容量。

为什么采用六边形？

对于同样大小的服务区域，采用正六边形构成小区所需的小区数最少，无重叠区（理论上），故所需的频率组数也最少，最经济。

基站布置在哪？

中心激励：基站位于小区中心，有时会有辐射阴影

顶点激励：在顶点上设置基站，并采用三个互成120°的定向天线，避免辐射阴影（覆盖不到）。

怎么将服务区域分割成多个六边形？

首先将服务区分为簇 (Cluster)，每个簇内有N个小区。

$N$ 应该满足下式:
$$N=\left(i^2+ij+j^2\right)$$

为什么N要取这些值呢？

其实取其他值也可以用，但不是最优的。我们理想的情况是：两个簇中使用相同信道的小区尽可能的远，这样同频干扰就小。

建立下图所示坐标系，设六边形中心到顶点的距离为R。

设相邻两个簇中使用相同信道的小区之间的距离为D。

u轴上走了i步，v轴上走了j步，由余弦定理可知，第三条边为：
$$D=\sqrt{3}R\sqrt{i^2+j^2+ij}$$
用簇的面积比上小区的面积即是小区个数：
$$N=\frac{A_{\text{cluster }}}{A_{\text{cell }}}=\frac{\sqrt{3}{D}^2/2}{3\sqrt{3}{R}^2/2}=\frac{1}{3}{\left(\frac{D}{R}\right)}^2=\frac{1}{3}\left(\frac{3R^2\left(i^2+j^2+ij\right)}{R^2}\right)=i^2+j^2+ij$$

N个小区构成一个簇，M个簇构成一个服务区。

某双工无线蜂窝系统总频谱为20MHz，每个单工信道带宽为25kHz，计算

（1）双工信道数目；
$$\frac{20\mathbf{M}\mathbf{H}\mathbf{z}}{25\mathbf{k}\mathbf{H}\mathbf{z}\times 2}=400$$
（2）如果使用N=4复用，每个小区的信道数为多少？

每个簇内的总频谱为20MHz，小区信道数为$\lceil \frac{400}{4}\rceil =100$

怎么评价？参考指标是什么？

固定频率资源下，系统可以使用的信道数，等价于可以容纳的用户数。

1、系统容量C

系统内共有M个簇；

每个簇内有N个小区；

每个小区分配有k个信道，并且小区间信道分配各不相同；
$$C=MkN$$

2、频率复用因子（frequency reuse factor）

$$1/N$$

为什么不直接用簇的个数M来表示？随服务区大小变化。

3、同频复用比例（cochannel reuse ratio）

$$Q=\frac{D}{R}=\sqrt{3N}$$

（除以六边形半径R相当于归一化）

同频小区之间的距离越小（即Q值越小），同频干扰越大。

4、信干比

$$\frac{S}{I}=\frac{S}{{\sum }_{i=1}^{i_0}{I}_i}=\frac{R^{-n}}{{\sum }_{i=1}^{i_0}{\left(D_i\right)}^{-n}}$$

仅考虑第一层干扰小区，且近似认为所有干扰基站与目标的距离相等

$i_0$是同频干扰小区数目，当使用全向天线时，典型值为6

为路径衰减指数，在市区蜂窝系统一般取值2-4
$$\frac{S}{I}=\frac{{\left(\frac{D}{R}\right)}^n}{i_0}=\frac{(\sqrt{3N}{)}^n}{i_0}=\frac{(\sqrt{3N}{)}^n}{6}$$

有一个蜂窝电话运营商，决定使用TDMA方案，该方案可以接受的最低信噪比为15dB，假设路径损耗指数为4，则频率复用因子N应为多少？

$$\begin{gathered} \frac{S}{I}=\frac{(\sqrt{3N}{)}^4}{6}\ge 15\mathbf{d}\mathbf{B}=31.6 \\ N\ge 4.58 \end{gathered}$$
又$\because N=\left(i^2+ij+j^2\right)$

$\therefore$ N可以取7

N越大越好？

同频干扰 & 频谱利用率

• N 减小，同频小区之间距离越小，频谱利用率越高（容量大），但同频干扰越大；
• N 增大，簇个个数减少，频率复用率降低，频谱利用率降低（容量小）。

怎么给小区分配信道呢？

1. 固定信道分配策略

   每个小区分配一组事先确定好的话音信道，小区中的任何呼叫都只能使用小区中的空闲信道。如果信道均已被占用，则呼叫阻塞。

2. 动态信道分配

   呼叫请求到达时，为它服务的基站向移动交换中心（MSC）请求信道，并根据某种算法进行信道分配。

   动态信道划分需要实时监控信道状态、话务量分布等信息，存储/计算量较大，但有利于提高信道的利用率，降低呼叫阻塞概率。

举一个固定信道分配的例子——美国的 AMPS 系统

政府将信道分给运营商：

如上图所示，1~799载频信道的编号（其中部分不可用），A、B两个运营商各分得一半。我们看A的那一半，灰线中的是控制信道，共有21条，灰线以上为话音信道，共有395条，灰线以下为拓展话音信道（暂时用不上）。

运营商将信道进行划分：

考虑 7 小区复用；1个小区分配1个控制信道，将会有 7 个控制信道分配给一个簇中的 7 个小区。两个相邻的簇就会分配剩余的 14 个控制信道。这样，控制信道可以遵循 21 小区复用方案，也就是当话音信道采用 7 小区复用方案时，控制信道可以分配给这样的 3 个簇后再复用。

每 395 个话音信道分为 21 个子集，每个子集含有 19 个信道。在每个子集中，相邻最近的信道之间有 21 个信道间隔。在 7 小区复用系统中，每小区使用 3 个子集的信道。这 3 个子集是在保证小区中的每个信道与任何其他信道之间都至少有 7 个信道间隔的前提下分配的。

上面废话那么多，核心思想就是把让一个小区内信道间的频率间隔尽可能大。1个簇中有7个小区，小区i（i=1~7）分到的信道编码为1、8、····、7n+1。

移动交换中心（MSC）怎么切换？

当一个移动台在通话过程中，从一个基站移动到另一个基站时，MSC自动地将呼叫转移到新的信道上。

1、在小区内分配空闲信道时，切换请求优于呼叫初始请求。

2、选择恰当的切换启动信号强度：

• Δ过大，则切换频繁，加重MSC的负担；

• Δ过小，则可能尚未完成切换，通信已中断。

中继理论（trunking）——资源调配

准备的电话线路太多了，话务量强度（表征信道时间利用率）就低；

准备的电话线路太少了，呼叫阻塞概率（呼损率）就高；

无线通信中，中继的概念是指允许大量的用户在一个小区内共享相对较小数量的信道，即从可用信道库中给每个用户按需分配信道。

打电话的用户给中继系统打分的标准——**服务等级（GOS全称Grade of Service，）**定义为 呼叫阻塞的概率（B） 或是 呼叫延迟时间大千某一特定排队时间的概率（C）（单位为 Erlang）。

系统中有U个用户，单位时间内的平均呼叫数为$\lambda$（个/小时），一个典型呼叫的平均保持时间记为 H（小时），每个用户的话务量强度$A_u=\lambda H$，总话务量强度$A=U{A}_u$

话务量强度（A）：每个信道单位时间（小时）的呼叫时长，表征信道时间利用率、通信系统通话业务量、繁忙程度（以 Erlang 为单位）

话务总量（又称负载）：整个系统的话务量强度（以 Erlang 为单位），话务量强度$\times$信道数

• 丢失呼叫清除（Lost Call Cleared， LCC）系统

  对呼叫请求不提供排队。用户请求后，如有空闲信道，则立即接入。如果所有信道都被占用，则呼叫阻塞，但可随后任意重试。具有最小的呼叫建立时间。

  阻塞呼叫：由于拥塞无法在请求时间完成的呼叫，又称损失呼叫。

  Erlang B公式：
  $$\mathrm{G}\mathrm{O}\mathrm{S}=\mathrm{Pr}[B]=\frac{\frac{A^C}{C!}}{{\sum }_{k=0}^C\frac{A^k}{k!}}$$
  $A$ 为提供的话务总量，$C$为中继系统提供的信道数

  例题：在一个呼叫阻塞清除的系统中，阻塞概率为0.2%，每个用户每小时平均拨打2个电话，每个电话平均通话3分钟。若该蜂窝系统有19个小区，每个小区有20条信道，则该系统能够支持多少用户？

  提供的话务总量$A$为待求量 ，中继系统提供的信道数$C=20$
  $$\mathrm{Pr}[B]=\frac{\frac{A^C}{C!}}{{\sum }_{k=0}^C\frac{A^k}{k!}}=0.002$$
  系统能提供$10.1\times 19=191.9\mathbf{E}\mathbf{r}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{g}$

  每个用户需要$2\times \frac{3}{60}=0.1\mathbf{E}\mathbf{r}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{g}$

  系统能支持1919个用户

  例题：考虑一个呼叫平均持续2分钟的蜂窝系统，阻塞概率不超过1%。假设每个用户平均每小时呼叫1次，系统话音信道共为399条，如果为7小区复用，则系统每小时处理_________________个呼叫；

  中继系统提供的信道数$C=\frac{399}{7}=57$

  每个用户需要$2\times \frac{1}{60}=\frac{1}{30}\mathbf{E}\mathbf{r}\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{g}$
  $$\mathrm{Pr}[B]=\frac{\frac{A^C}{C!}}{{\sum }_{k=0}^C\frac{A^k}{k!}}=0.01$$
  $A=$

  如果采用120度裂向，在不改变复用方案的情况下，每小时可以处理_________________个呼叫

  

• 丢失呼叫延迟（Lost Call Delayed， LCD）系统

  将被阻塞的呼叫放入队列，当呼叫没有得到空闲信道时，该请求将被延迟直至出现空闲信道。

  建立时间：给正在请求的用户分配一个中继无线信道所需的时间。

购买系统的客户给中继系统打分的标准——中继效率（Trunking efficiency）：某一GOS下，固定信道配置所能提供的用户数。

蜂窝+中继使窄的带宽能服务很多用户。

如何提高系统容量？

1. 小区分裂（plot fission）

   

   更多的基站，更多的切换操作

2. 划分扇区

   

   在原小区的基础上，将中心设置基站的全向覆盖区分为几个定向天线的小区。

   • 增加了小区数目，却不增加基站数量。
   • 重叠区小，有利于越区切换。
   • 利用天线的定向辐射性能，可以有效的降低同频干扰。

多址接入（Multiple Access）

蜂窝系统中是以信道来区分通信对象的，一个信道只容纳一个用户进行通信，许多同时进行通信的用户，互相以信道来区分，这就是多址。全双工指允许数据在两个方向上同时传输，它在能力上相当于两个单工通信方式的结合。

要入门，首先要搞懂什么是多址技术，什么是双工技术。

双工技术（Duplex）

移动通信按照用户的通话状态和频率使用的方法，可分为三种工作方式：单工、半双工、全双工。

单工（Simplex）通信是指通信线路上的数据按单一方向传送。单工通信信道是单向信道，发送端和接收端的身份是固定的，发送端只能发送信息，不能接收信息；接收端只能接收信息，不能发送信息。例如遥控、遥测。

半双工（Half Duplex）通信是指数据可以沿两个方向传送，但同一时刻一个信道只允许单方向传送，因此又被称为双向交替通信。若要改变传输方向，需由开关进行切换。早期对讲机、早期集线器等设备都是半双工的。

全双工（Full Duplex）是指在发送数据的同时也能够接收数据，两者同步进行。比如，电话机则是一种全双工设备，其通话双方可以同时进行对话。

全双工技术分为频分双工和时分双工，前向信道和反向信道分别占用不同的频率（a）或时隙（b）：

频分双工（Frequency Division Duplexing，FDD）

频分双工(FDD)是指为每一个用户提供了两个确定的频率波段。前向波段用做基站到移动台的信息传输，而反向波段用做从移动台到基站的信息传输。用户单元和基站使用各自的双工器，完成同时在双工信道上进行的无线发射和接收。

为了把在每个信道上的前向和反向链路之间的干扰减到最小，应选择在可用频谱范围内的最大频率间隔，前向信道和反向信道的频率分割在整个系统中是固定的， 而与某个特定的信道无关。

时分双工（Time Division Duplexing，TDD）

时分双工(TDD)中， 多个用户通过占用不同的时间段来共享一个无线信道。单个用户能够在给它分配的时隙内接入信道，并且该双工信道有一个前向时隙和一个反向时隙进行双向通信。对于用户而言，如果前向时隙和反向时隙之间的时间间隔很小，那么数据的发送和接收就像是在同时进行的。

频分双工浪费频谱资源，时分双工使用更多。

打视频电话、从网上下音乐、看电影，这些多媒体业务往往是发送少、接收多，WCDMA和CDMA2000选用FDD，两个车道大小相同（专业点叫对称频带），大材小用了。而TD-SCDMA没这么浪费资源，它选用TDD方式，发送信息占用的时间短，而接收信息占用的时间长，浪费问题迎刃而解。

同时同频全双工（Co-frequency Co-time Full Duplex, CCFD）

智能天线：

多址接入技术（Multiple Access Techniques）

亦可称为“多用户复用”。

多址方式中的“址”就像给每个手机用户给一个“住址”，这个住址是按照时间 T 、频率 F 和扩频码字 C 共同区分的。多址方式分为时分多址TDMA、频分多址FDMA和码分多址CDMA。从效果上看三种方式等价。

频分多址 (Frequency Division Multiple Address，FDMA)

频分多址FDMA就是大家的手机在不同的频率上给基站同时发送信号，各个频率就像不同的车道，互不干扰。频分多址FDMA的“址”就是分配给用户的不同车道。

• 系统为每个用户分配唯一的频段，其他用户不能共享。
• 相对低效（浪费频谱资源）的资源分配方法，系统开销（如同步头、组帧比特）较低。
• FDMA系统通常是窄带系统；
• 窄带系统不需要均衡等复杂设备，系统相对TDMA简单；
• 需要精确的RF滤波器，降低相邻信道的干扰；

时分多址（Time Division Multiple Address，TDMA）

时分多址TDMA就是大家的手机轮流给基站发送信号，但是轮流的非常非常快，每个手机发送的时间只占1秒的几十万分之一，再加上手机的一些信号处理，人耳感觉不到轮流中等待的那段时间，感觉就像连续通话一样。时分多址TDMA的“址”就是轮流分得的发送时间。

• TDMA中，多个用户共用一个载波频率；

• 数据发送不连续，有利于降低能耗；

• TDMA系统往往是宽带系统，需要均衡器等设备；

• TDMA有时间同步的问题：

  TDMA的效率为信息比特在发射数据中所占的百分比；

扩频多址（Spread Spectrum Multiple Access，SSMA）

SSMA可以抵抗多径干扰而增强多址能力。

SSMA 在只有一个用户使用时没有很好的带宽效率。然而，许多用户能够互不干扰地共享同一扩频带宽，因此在多用户环境中，扩频多址系统就变成了高带宽效率系统。

根据扩频技术的不同，可以分为直接序列扩址（DS，也称为CDMA）和跳频多址（FH）；

码分多址（Code Division Multiple Access，CDMA）

码分多址CDMA就像大家发送信号前，给自己的信号上贴个大头贴，基站接收到大家一起发来的信号后，通过大头贴就能分辨出谁是小红、谁是小黑。这个大头贴就是扩频码字，扩频的意思的大大增加了传送的数据量，需要扩展车道，这是因为大家发送数据时给每个数据都额外传送这个大头贴，所以要用更宽的车道来传。码分多址CDMA的“址”就是标识用户的大头贴。

• CDMA系统中，多个用户共享同一频率；

• 理想的PN序列可以实现抗多径和抗多用户干扰；

• 与TDMA 和FDMA不同，CDMA具有软容量的限制。

• 远近效应（near-far effect）：

  由于接收用户的随机移动性，移动用户与基站之间的距离也是在随机变化，若各移动用户发射信号功率一样，那么到达基站时信号的强弱将不同，离基站近者信号强，离基站远者信号弱。通信系统中的非线性将进一步加重信号强弱的不平衡性，甚至出现了以强压弱的现象，并使弱者，即离基站较远的用户产生掉话（通信中断）现象，通常称这一现象为远近效应。

CDMA存在“远近效应”，TDMA与FDMA是否存在该效应？

远近效应由小尺度衰落导致。

严格的TDMA或FDMA不存在远近效应。

非正交码分多址（Non-Orthogonal Multiple Access，NOMA）

挑战：非正交带来的干扰

应用：海量机器通信的支撑技术

跳频多址（FHMA）

用户的载波频率在宽带信道范围内以伪随机的方式变化。FHMA允许多个用户同时占用同一频谱，其中每个用户基于自身的特定PN码，在特定的时间占用一个指定的窄带信道。

混合扩频技术

混合FDMA/CDMA (FCDMA)

混合直接序列／跳频多址(DS/FHMA)

时分CDMA(TCDMA)

时分跳频(TDFH)

空分多址（SDMA）

扇形天线是SDMA的一个基本方式。

分组无线电（Packet Radio，PR）

使用分组交换技术，透过无线电，或是无线通讯连结，来交换数位资料。不像传统的电路交换技术，它如同互联网，使用数据包（Datagram）来进行资料传输。

详情见《计算机网络》

窄带/宽带系统

根据分配给用户有效带宽与信道相干带宽的比较，可以分为窄带/宽带系统；

窄带系统

“窄带” 指单个信道的带宽同所期望的信道相干带宽相近。在一个窄带多址系统中， 有效的无线频谱被划分为许多窄带信道， 信道通常按FDD双工方式运行。为了把在每个信道上的前向和反向链路之间的干扰减到最小，应选择在可用频谱范围内的最大频率间隔，同时满足能够在每一个用户单元中使用便宜的双工器和普通的天线。 在窄带FDMA中， 为每个用户分配一个未被临近地区其他用户占用的特定信道；并且如果采用FDD双工方式（即每个信道有一个前向和反向信道），则这个系统就称为FDMA/FDD。另一方面，窄带TDMA允许多个用户共享同一信道，但是在信道上的一个周期中为每一个用户分配惟一的时隙，因此能够在一个信道上分开这些用户。对于窄带TDMA系统，分配的信道通常 使用FDD技术或TDD技术，并且每一个共享的信道都使用TDMA方式。这样的系统称为TDMA/FDD接入系统或者TDMA/TDD接入系统。

宽带系统

在宽带系统中，一个信道的发射带宽要比这个信道的相千带宽宽得多。因此，宽带系统中信道的多径衰落并不会严重影响接收信号，并且频率选择衰落 仅仅发生在信号带宽的一小部分中。在宽带多址系统中，允许多个用户在同一信道上发射信号。TDMA系统在同一信道上给许多发射机分配时隙，并且仅允许一个发射机在某一时隙占用信道；而扩频CDMA系统允许所有发射机在同一时间占用信道。TDMA和CDMA系统都可以使用FDD或TDD双工方式。除了FDMA、TDMA和CDMA, 还有两种多址接入技术用于无线通信， 它们分别是分组无线电(PR)和空分多址(SDMA)。

当信号满足什么条件时，可以看作窄带信号？

• 绝对带宽：与某确定数值相比

  UWB：B>3GHz

• 相对带宽：带宽与载频相比

  B/fc>0.2

• 和信道的相干带宽相比

  码元长度远大于信道相干时间（B>Bc）为窄带信号

大尺度衰落和阴影效应（Large-Scale Path Loss and Shadowing）

原标题：信号传播、路径损耗、阴影效应（Signal Propagation 、Path Loss and Shadowing Effect）

对于预测平均信号场强并用于估计无线覆盖范围的传播模型，由于它们描述的是发射机与接收机之间长距离（几百米或是几千米）上的信号场强变化， 所以称为大尺度传播模；另一方面，描述短距离（几个波长）或短时间（秒级）内接收场强的快速波动的传播模型， 称为小尺度衰落模型。

传播机理（Propagation Mechanisms）

直射、反射、绕射（衍射）、散射

自由空间衰减（Free Space Attenuation）

随着发射机和接收机之间距离的不断增加，导致了电磁波强度的衰减。需要理解衰减因子n的意义——收发功率比与收发机距离的n次幂成反比。

自由空间路径损耗模型（Free Space Path Loss Model）

• 模型假设：接收机和发射机之间是完全无阻挡的视距路径。

• 典型场景：微波视距无线链路。

Friis 公式

$$P_r(d)=\frac{P_t{G}_t{G}_r{\lambda }^2}{(4\pi {)}^2{d}^{2}L}$$

其中， $P_t$ 为发射功率；$P_r(d)$ 是接收功率；$G_t$ 是发射天线增益； $G_r$ 是接收天线增益；$d$ 是 T-R 间距离，单位为 $\mathrm{m}$；$\lambda$ 为波长，单位为 $\mathrm{m}$；

$L$ 是与传播无关的系统损耗因子 $(L⩾1)$：综合损耗通常归因于传输线衰减、滤波损耗和天线损耗， $L=1$ 则表明系统硬件中无损耗。对于衰减器或传输线，器件损耗 $L$ 等于器件的噪声系数 $F$ 。

总结：与天线增益相关；与信号频率相关；与硬件损耗相关；衰减因子为2

天线增益

天线增益与它的有效截面积 $A_e$ 和载频相关，即
$$G=\frac{4\pi A_e}{{\lambda }^2}$$
有效截面 $A_e$ 与天线的物理尺寸相关， $\lambda$ 则与载频相关:$\lambda =\frac{c}{f}=\frac{2\pi c}{{\omega }_c}$

面积大，增益大；载频高，增益大。

例题 : 载频为 $f_c=1\mathrm{G}\mathrm{H}\mathrm{z}$ ，接收天线为半径为 $r=0.2$ 米的圆形抛物面天线，天线的有效截面积 $A_{RX}$ 和天线物理面积$A_{PHY}$ 之间存在关系:$A_{RX}=0.55A_{PHY}$，求接收天线增益。
解:$G_{RX}=\frac{4\pi }{{\lambda }^2}{A}_{RX}=\frac{4\pi }{{\lambda }^2}\cdot 0.55A_{PHY}=\frac{4\pi }{{\lambda }^2}\cdot 0.55\cdot \pi r^2\approx 9.64\approx 9.84\mathrm{d}\mathrm{B}$

Friis公式的前提

天线的远场条件——收发机间距离超过远场距离$d>d_f$
$$d_f=\frac{2D^2}{\lambda }$$
$D$ 为天线的最大物理线性尺寸。

有效全向发射功率 (EIRP)

$$\text{ EIRP }=P_t{G}_t$$

EIRP表示与各方向具有相同单位增益的理想全向天线相比，可由发射机获得的在最大天线增益方向上的最大发射功率。

实际上用有效发射 (ERP) 代替 EIRP 来表示与半波偶级子天线相比的最大发射功率。对于同一传输系统，ERP 比 EIRP 低2.15 dB 。

例题：一个均匀照射的喇叭形天线（4.6cm×3.5cm）工作在60GHz，计算该天线的（1） Fraunhofer距离（2）增益。

$$\begin{gathered} \lambda =\frac{c}{f}=\frac{3\times 10^8}{60\times 10^9}\mathbf{m}=0.05\mathbf{m} \\ {d}_f=\frac{2D^2}{\lambda }=\frac{2\times \left(0.046^2+0.0355^2\right)}{0.05}=1.44\mathbf{m} \\ G=\frac{4\pi A_e}{{\lambda }^2}=\frac{4\pi \times 0.046\times 0.035}{0.05^2}=29\mathbf{d}\mathbf{B} \end{gathered}$$
假设发射功率为1W，收发两端都使用上述天线，在1000米处的信号接收功率为多少。
$$\begin{gathered} G_t=Gr=29dB \\ EIRP=P_{t}Gt=29dB=59dBm \\ PL(100m)=\frac{(4\pi d{)}^2}{{\lambda }^2}=128dB \\ {P}_r=59-128+29=-40dB\mathrm{m} \end{gathered}$$

参考点模型

自由空间传播模型使用参考点 $\left(d_0\right)$ 作为接收功率的参考点
$$P_r(d)=P_r\left(d_0\right){\left(\frac{d_0}{d}\right)}^{2}d\ge d_0\ge d_f$$
指数形式：
$$\begin{array}{c}{P_r(d)|}_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}={P_r\left(d_0\right)|}_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}+20\log \left(\frac{d_0}{d}\right)\end{array}$$
常用参考距离：1米（室内），100米或1km（室外）

反射（Reflection and Transmission）

当电磁波遇到比波长大得多的物体时发生反射，反射发生在地球表面、建筑物和墙壁表面。

地面反射模型（双线模型）

• 模型假设：地面为理想的反射；天线高度超过50米；T-R距离很大 ( $d\gg \sqrt{h_r{h}_r}$ )

• 典型场景：双线模型在预测几千米范围内的信号强度非常准确。

在移动无线信道中，基站和移动台之间的单一直接路径一般都不是传播的惟一物理方式，因此单独使用自由空间传播模型（Friis公式），在多数情况下是不准确的。

无线通信的“民间定律”之一说，接收信号功率与TX和RX之间距离的四次方成反比。对于仅存在视线（LOS）波以及地面反射波的情况，通过计算接收功率通常可以证明该定律是合理的。

例题：说明双线地面模型的优点和缺点：

优点：非常准确的模型，是解析的可计算的；

缺点：前提是把地面假设为理想的反射；

在下列情况下，双线模型是否可以使用？

$h_t=35m,h_r=3m,d=45m$

$h_t=30m,h_r=1.5m,d=450m$

$d>>h_t+h_r$

双线反射模型在距离 $d$ 处的接收功率可以表示为：
$$P_r(d)=P_t{G}_t{G}_r\frac{h_t^2{h}_r^2}{d^4}$$

结论：场强与距离的二次方成反比：
$$\left|E_{TOT}\right|\propto \frac{1}{d^2}$$
功率与距离的四次方成反比：
$$P_r={\left|E_{TOT}\right|}^2\propto \frac{1}{d^4}$$
当距离很大时 $\left(d\gg \sqrt{h_t{h}_r}\right)$， 接收信号功率随距离增大呈4次方衰减，远远快于自由空间的损耗。

双线模型的拓展——断点模型

上图显示了仅有直射波和地面反射波时的接收功率，在实际传播环境中，存在一个“断点”（breakpoint）。我们发现，衰减系数n = 2和n = 4之间的过渡实际上不是一个尖锐的断点，而是平滑的。

当传输距离不超过 $d_{\text{break }}$ 时，路径衰减系数n=2;
$$P_r(d)=P_r\left(d_0\right){\left(\frac{d_0}{d}\right)}^2,d_0<d<d_{\text{break }}$$
当传输距离超过 $d_{\text{break }}$ 时，路径衰减因子 $3.5\le n\le 4.5$ 。
$$P_r(d)=P_r\left(d_{\text{break }}\right){\left(\frac{d_{\text{break }}}{d}\right)}^n,d>d_{\text{break }}$$

绕射/衍射（Diffraction）

当接收机和发射机之间的无线路径被尖锐的边缘阻挡时将发生绕射。

惠更斯原理（Huygen’s principle）

理想反射情况往往用于描述尺寸无限大的物体（Interactive Object，IO）。

实际情况是：电磁波遇到有限尺寸的障碍物时存在明显的绕射现象。

绕射可以增加特定位置的接收功率。惠更斯原理提供了解释：一些通常会在特定位置造成破坏性干扰的球面波被遮挡了。但是，请注意，绕射无法增加总能量（对整个波前积分）。

绕射现象可以利用费涅尔区定性地解释：

菲涅尔区（Fresnel Zones）

费涅尔区：存在一个连续区域（桶球），绕射次级路径长 度要比视距路径长度大 $n\lambda /2$，第 $n$ 个费涅尔区同心的半径:
$$r_n=\sqrt{\frac{n\lambda d_1{d}_2}{d_1+d_2}}$$
第一费涅尔区不同路径电磁波到达接收天线的作用相近（constructive），当第一菲涅耳区未被遮挡时，绕射损失几乎可以忽略不计，接收点的信号是最强的。

费涅尔区可以用来解释路径损耗中的断点模型：

随着T-R距离的增加，第一费涅尔区（椭球）也在变大。当第一费涅尔区与地面接触时，反射信号与直达波信号的相位相差，此时，反射点的位置也就是断点模型中，断点所在的位置。

绕射增益

前面提到绕射可以增加特定位置的接收功率。下面来定量分析一下增益是多少？

刃形绕射模型

估算电波经过山脉或建筑物绕射引起的信号衰减是预测场强的关键。

精确估计绕射损耗是不可能的，而是在预测中采用理论近似加上必要的经验修正的方法。

$$\begin{array}{cc}{G}_d(\mathrm{d}\mathrm{B})=0& v⩽-1\\ G_d(\mathrm{d}\mathrm{B})=20\log (0.5-0.62v)& -1⩽v⩽0\\ G_d(\mathrm{d}\mathrm{B})=20\log (0.5\exp (-0.95v))& 0⩽v⩽1\\ G_d(\mathrm{d}\mathrm{B})=20\log \left(0.4-\sqrt{0.1184-(0.38-0.1v{)}^2}\right)& 1⩽v⩽2.4\\ G_d(\mathrm{d}\mathrm{B})=20\log \left(\frac{0.225}{v}\right)& v>2.4\end{array}$$
其中存在有一个无量纲的Fresnel-Kirchoff参数：
$$v=h\sqrt{\frac{2d_1{d}_2}{\lambda \left(d_1+d_2\right)}}$$
可见绕射增益同时受到相对高度 h（障碍物高度减收发机高度）、距离（发送机到障碍物&障碍物到接收机）、载频等因素的影响。

散射（Scattering by Rough Surfaces）

当波穿行的介质中存在小于波长或与波长相当的物体并且单位体积内阻挡体的个数非常巨大时，将发生散射。

在实际的通信系统中，树叶、街道标志和灯柱等会引发散射。

经验模型（Empirical Models）

不规则的地形，如城市或建筑物内，不宜使用简单的分析路径损耗模型。

经验模型模型基于：广泛测量、分析模型、曲线拟合。

Okumura模型

用于城市信号强度预测最常用的估计模型之一。

完全基于测量数据，不提供理论解释。

$L_{50}$ : 路径损耗的中值（median value）[中断率为50%]:
$$L_{50}(\mathrm{d}\mathrm{B})=L_F+A_{mu}(f,d)-G\left(h_{te}\right)-G\left(h_{re}\right)-G_{AREA}$$
$L_F$ : 自由空间传播损耗
$$L_F=10\log \left[\frac{{\lambda }^2}{(4\pi {)}^2{d}^2}\right]$$
$A_{mu}(f，d):$ 衰减修正因子，为频率和距离的函数:

$G\left(h_{te}\right)$ 基站天线高度增益因子;
$$\begin{array}{cc}G\left(h_{te}\right)=20\log \left(\frac{h_{te}}{200}\right)& 1000\mathrm{m}>h_{te}>30\mathrm{m}\end{array}$$
$G\left(h_{re}\right)$移动台天线高度增益因子;
$$\begin{array}{cc}G\left(h_{re}\right)=10\log \left(\frac{h_{re}}{3}\right)& h_{re}⩽3\mathrm{m}\\ G\left(h_{re}\right)=20\log \left(\frac{h_{re}}{2}\right)& 10\mathrm{m}>h_{re}>3\mathrm{m}\end{array}$$
$G_{AREA}$ : 环境增益。

例：使用 Okumura 模型求解 $d=50\mathrm{k}\mathrm{m}，h_{te}=100\mathrm{m}，h_{re}=10\mathrm{m}$ 且为郊区环境的路径损耗。已 知发射机的 EIRP 为 $1\mathrm{k}\mathrm{W}$， 载频为 $900\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}$ ，求接收功率（假定接收机天线为单位增益 )
解：自由空间路径损耗 $L_F$ 可由式(4.6)计算:
$$L_F=10\log \left[\frac{{\lambda }^2}{(4\pi {)}^2{d}^2}\right]=10\log \left[\frac{{\left(3\times 10^8/900\times 10^6\right)}^2}{(4\pi {)}^2\times {\left(50\times 10^3\right)}^2}\right]=125.5\mathrm{d}\mathrm{B}$$
由 Okumura 曲线可得
$$A_{mu}(900\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}(50\mathrm{k}\mathrm{m}))=43\mathrm{d}\mathrm{B}$$
和
$$G_{AREA}=9\mathrm{d}\mathrm{B}$$
使用式(4.81.a)和式(4.81.c)可得
$$\begin{array}{l}G\left(h_{te}\right)=20\log \left(\frac{h_{te}}{200}\right)=20\log \left(\frac{100}{200}\right)=-6\mathrm{d}\mathrm{B}\\ G\left(h_{re}\right)=20\log \left(\frac{h_{re}}{3}\right)=20\log \left(\frac{10}{3}\right)=10.46\mathrm{d}\mathrm{B}\end{array}$$
使用式(4.80)，可得总的路径损耗为
$$\begin{array}{rl}{L}_{50}(\mathrm{d}\mathrm{B})& =L_F+A_{mu}(f,d)-G\left(h_{te}\right)-G\left(h_{re}\right)-G_{AREA}\\ & =125.5\mathrm{d}\mathrm{B}+43\mathrm{d}\mathrm{B}-(-6)\mathrm{d}\mathrm{B}-10.46\mathrm{d}\mathrm{B}-9\mathrm{d}\mathrm{B}\\ & =155.04\mathrm{d}\mathrm{B}\end{array}$$
因此，接收机功率为
$$\begin{array}{rl}{P}_r(d)& =EIRP(\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m})-L_{50}(\mathrm{d}\mathrm{B})+G_r(\mathrm{d}\mathrm{B})\\ & =60\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}-155.04\mathrm{d}\mathrm{B}+0\mathrm{d}\mathrm{B}=-95.04\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}\end{array}$$

Hata 模型

根据Okumura曲线图所做的经验公式，同样适用于城区，150-1500MHz的传播条件。
$$L_{50}(\text{ urban })(\mathrm{d}\mathrm{B})=69.55+26.16\log f_c-13.82\log h_{te}-a\left(h_{re}\right)+\left(44.9-6.55\log h_{te}\right)\log d$$
其中， $f_c$ 为频率 ( 单位为 $\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}$ )，范围为 150~1500 $\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}$

$h_{te}$ 为有效发射 ( 基站 ) 天线高度，范围为 30 ~ 200 $\mathrm{m}$

$h_{re}$ 为有效接收 ( 移动台 ) 天线高度，范围为 1 ~ 10 $\mathrm{m}$

$d$ 为 T-R 距离 ( 单位为 $\mathrm{k}\mathrm{m}$ )

$a\left(h_{re}\right)$ 为有效移动天线高度修正因子，是覆盖区大小的函数。

对于中小城市，移动天线修正因子为
$$a\left(h_{re}\right)=\left(1.1\log f_c-0.7\right)h_{re}-\left(1.56\log f_c-0.8\right)\mathrm{d}\mathrm{B}$$
对于大城市为
$$\begin{array}{ll}a\left(h_{re}\right)=8.29{\left(\log 1.54h_{re}\right)}^2-1.1\mathrm{d}\mathrm{B}& f_c⩽300\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}\\ a\left(h_{re}\right)=3.2{\left(\log 11.75h_{re}\right)}^2-4.97\mathrm{d}\mathrm{B}& f_c⩾300\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}\end{array}$$

阴影效应（Shadowing Effect）

光是一种频率较高的电磁波。当和煦的阳光普照大地的时候，树木、房屋都有影子，这个影子不是完全的黑暗，是一种强度减弱很多的光，这就是光传播过程的阴影效应，如下图所示：

和可见光的阴影效应类似，在无线通信系统中，移动台在运动的情况下，由于大型建筑物和其他物体对电波的传输路径的阻挡而在传播接收区域上形成半盲区，从而形成电磁场阴影，这种随移动台位置的不断变化而引起的接收点场强中值的起伏变化叫做阴影效应。阴影效应是产生慢衰落的主要原因。

不同地物类型的阴影效应的大小不一，密集城区一般要比普通城区、农村、郊区有更大的阴影效应影响；

在做网络规划的时候，要充分考虑不同无线环境中阴影效应对覆盖效果的影响：

对数正态阴影模型（Log-normal Shadowing Model）

阻挡物体的位置、尺寸和介电特性以及导致随机衰减的反射面和散射物体的变化，上述因素通常是未知的，因此必须使用统计模型来表征这种衰减。这种额外衰减的最常见模型是对数正态阴影。该模型已被经验证实可以准确地模拟室外和室内无线电传播环境中接收功率的变化。

在对数正态阴影模型中，假设发射与接收功率比 $\psi =Pt/Pr$ 是随机的，其对数正态分布由下式给出：
$$p(\psi )=\frac{\xi }{\sqrt{2\pi }{\sigma }_{{\psi }_{\mathrm{d}\mathrm{B}}}\psi }\exp \left[-\frac{{\left(10{\log }_{10}\psi -{\mu }_{{\psi }_{\mathrm{d}\mathrm{B}}}\right)}^2}{2{\sigma }_{{\psi }_{\mathrm{d}\mathrm{B}}}^2}\right],\psi >0$$
对数正态分布用来描述在传播距离相同的情况下，接收功率由于阴影导致的随机现象。

线性形式：
$$\frac{P_r}{P_t}=K{\left(\frac{d_0}{d}\right)}^n\psi$$
指数形式：
$$\frac{P_r}{P_t}(dB)=\underset{K_{dB}}{10{\log }_{10}K}-10n{\log }_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right)-{\psi }_{dB},{\psi }_{dB}\sim N\left({\mu }_{\psi },{\sigma }_{\psi }^2\right)$$
n 为路径损耗指数，依赖于周围环境和建筑物类型

$X_{\sigma }$表示标准偏差为$\sigma$dB 的正态随机变量。$4<\sigma <12$ (empirical)

和都是根据实测数据拟合得到，所以对数正态阴影模型也可以算作经验模型。

中断率（Outage probability）

在传播距离相同的情况下，接收功率由于阴影导致的随机现象。

接收信号功率（服从指数分布）超过某一个特定值 $\gamma$ 的概率为
$$\mathrm{Pr}\left[P_r(d)>\gamma \right]={\int }_{\gamma }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=Q\left(\frac{\gamma -\overline{P_r(d)}}{\sigma }\right)$$
Q函数为标准正态分布的右尾函数
中断率:
$$\mathrm{Pr}\left[P_r(d)<\gamma \right]=1-Q\left(\frac{\gamma -\overline{P_r(d)}}{\sigma }\right)$$

当路径损耗为167dB时，对数正态阴影的标准差 =6dB。计算系统的门限值，使得在实际情况下PL > 的概率不超过5%。

衰落余量（fading margin）

在上题条件下，路径损耗超过 $177\mathrm{d}\mathrm{B}$ 的概率为5%。因此如果系统设计时，增加10dB的冗余，则系统的可靠性从50% 提升到 $95\%$， 则这10dB的冗余功率称为衰落余量（fading margin），其典型值为10-20dB。 一般条件下，如果系统的可靠性为 $\rho$， 则所需的衰落余量为
$$FM=\sigma Q^{-1}(1-\rho )=6\times Q^{-1}(0.05)\approx 10\mathrm{d}\mathrm{B}$$

覆盖面积的百分率

由于阴影效应的随机性，覆盖区域内的部分面积上的信号功率会低于系统所需门限值；

这个阴影是正态分布的，很容易想到这个轮廓应该是随即变动的，而圆相当于统计均值。

例 4.9： 距发射机 $100\mathrm{m}，200\mathrm{m}，1\mathrm{k}\mathrm{m}$ 和 $3\mathrm{k}\mathrm{m}$ 处分别得到接收功率的测量值。测量值由下表给 出。假定这些测量的路径损耗符合式(4.69.a)的模型，则在 $d_0=100\mathrm{m}$ 处 $:(\mathrm{a})$ 求对于路径损耗 指数 $n$ 的最小均方误差估计 ( $\mathrm{M}\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}$ ) $;$ (b)计算标准偏差; ©运用结果模型估计 $d=2\mathrm{k}\mathrm{m}$ 处的 接收功率; $(\mathrm{d})$ 预测 $2\mathrm{k}\mathrm{m}$ 处电平大于 $-60\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$ 的概率; (e)在 $2\mathrm{k}\mathrm{m}$ 半径的小区内，接收信号大 于 $-60\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$ 的覆盖面积百分比，给定(d)中的结果。

使用下列方法求MMSE估计。设 $p_i$ 为 $d_i$ 处的接收功率， ${\left(d/d_0\right)}^n$ 为使用式(4.67)的 ${\hat{p}}_i$ 的路径损耗模 型对 $p_i$ 的估计值。测量与估计值方差和为
$$J(n)=\sum _{i=1}^k{\left(p_i-{\hat{p}}_i\right)}^2$$
使上式 $J(n)$ 的微分为 0 (即使均方差极小化 )， 可求出 $n$ 值。
(a) 利用式(4.68)， 求出 ${\hat{p}}_i=p_i\left(d_0\right)-10n\log \left(d_{i}S100\mathrm{m}\right)$ 。同时 $P\left(d_0\right)=0\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$， 我们求出下面的 ${\hat{p}}_i$
估计值，单位为 $\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$; ${\hat{p}}_1=0，{\hat{p}}_2=-3n，{\hat{p}}_3=-10n，{\hat{p}}_4=-14.77n$
均方差和为
$$\begin{array}{l}J(n)=(0-0{)}^2+(-20-(-3n){)}^2+(-35-(-10n){)}^2+(-70-(-14.77n){)}^2\\ =6525-2887.8n+327.153n^2\\ \frac{dJ(n)}{dn}=654.306n-2887.8\end{array}$$
置上式为 0，获得 $n=4.4$ 。
(b) $n=4.4$ 时，均方差为 ${\sigma }^2=J(n)/4$ 。
因此，
$$\begin{array}{rl}J(n)& =(0+0)+(-20+13.2{)}^2+(-35+44{)}^2+(-70+64.988{)}^2\\ & =152.36.\\ {\sigma }^2& =152.36/4=38.09{\mathrm{d}\mathrm{B}}^2\end{array}$$
$\sigma =6.17\mathrm{d}\mathrm{B}$， 即为有偏估计。一般需要大量的测量值来减小均方差 ${\sigma }_0^2$
© $d=2\mathrm{k}\mathrm{m}$ 处接收功率的估计值为 $\hat{p}(d=2\mathrm{k}\mathrm{m})=0-10(4.4)\log (2000/100)=-57.24\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$
可以加上一个零均值和 $\sigma =6.17\mathrm{d}\mathrm{B}$ 的高斯随机变量来仿真 $d=2\mathrm{k}\mathrm{m}$ 处的随机阴影效应。
(d) 接收信号电平大于 $-60\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$ 的概率为
$$\mathrm{Pr}\left[P_r(d)>-60\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}\right]=Q\left(\frac{\gamma -\overline{P_r(d)}}{\sigma }\right)=Q\left(\frac{-60+57.24}{6.17}\right)=67.4\%$$
(e) 如果边界上 $67.4\%$ 的使用者收到的信号电平大于 $-60\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$， 则使用式(4.78)或图 $4.18$ 可以 确定 $88\%$ 的小区覆盖接收电平大于 $-60{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}_{\text{。 }}$

链路计算（Link Budget）

链路预算是计算所需TX功率的最清晰，最直观的方法。

它囊括了从发射天线到接收天线的所有影响因素。

由于大多数影响SNR的因素都以乘法方式输入，因此以对数形式（特别是以dB为单位）写所有方程式非常方便。

但是，必须注意的是，链路计算通常给出最坏的情况下总SNR的估计值，因为未考虑不同效果之间的某些相互作用。

例：考虑GSM基站的下行链路，载频为950MHz，接收机 灵敏度为-102dBm。发射机输出功率为3oW，天线增益为 1odB，线路损耗为 $5\mathrm{d}\mathrm{B}$ 。衰落余量为12dB。当采用断点路 径损耗模型时， $d_{\text{break }}=100m$ 。 求：该系统能够覆盖多远的距离。

例：一个移动通信系统，包含下列参数:
$$f_c=1GHz,P_{TX}=20W,G_{TX}=10dB=G_{RX}$$
信道采用断点模型描述， $d_{\text{break }}=20m，d_{BS-MS}=500m$， 路径损耗因子 $n=3$ 。 系统带宽$B=1MHz$，接收机噪声 系数 $F_{RX}=5dB$ 。系统的衰落余量为 $10\mathrm{d}\mathrm{B}$， 解调器的信噪比门限 为 $8\mathrm{d}\mathrm{B}$ 。该系统能否正常工作?

噪声系数

深入学习请看这篇知乎文章

单个器件噪声系数
$$F=\frac{SN{R}_{\text{input }}}{SN{R}_{\text{output }}}>1$$
接收机只能够恶化SNR

对于级联系统，整个系统的噪声系数可以通过各个单元的参数计算出来:

$$ F_{s y s}=F_{1}+\frac{F_{2}-1}{G_{1}}+\frac{F_{3}-1}{G_{1} G_{2}}+\cdots $$ 注意： $F_{i}$ 和 $G_{i}$ 分别为第 $i$ 级模块的线性噪声系数与增益。

热噪声功率谱密度
$$N_0=k\underset{\text{ 噪声温度 }}{T_0}\stackrel{\text{ 室温 }}{=}-174\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}/\mathrm{H}\mathrm{z}$$
噪声功率
$$P_n=N_{0}B=-174+10\log B\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$$
$k$ 为玻尔兹曼常数，为 $1.38\times 10^{-23}$ 焦耳 /开尔文， $B$ 为测量器件的等效带宽。

对于衰减器或传输线，器件损耗L等于器件的噪声系数F。（Frris公式中的硬件损耗因子L）

例：计算如图所示系统的等效噪声系数

例B.2 – B.4：考虑一个AMPS蜂窝电话，具有30kHz的等效RF带宽。电话如图所示，如果电话的噪声系数是6dB，同轴电缆损耗3dB，天线具有有效温度290k。

计算从天线接收后，系统的等效噪声系数；
确定系统平均热噪声功率；
如果在接收端需要30dB的SNR，则天线端所需的平均信号强度？

小尺度衰落（Small-Scale Fading）

无线信道的小尺度衰落是无线通信环境的重要衰落特征，包括因多径效应而引起的衰落和信道时变性引起的衰落。

相对运动（relative motion）

在多径环境下，收发天线间相对运动以及传播环境中的移动物体的随机移动，造成了多普勒频谱扩展，即单一频率信号经过时变衰落信道之后会呈现为具有一定带宽的信号，这又可以称为信道的频率弥散性。

无线移动信道的时变性反映在衰落信号相位的随机变化，它是一种随机调频现象。

多普勒拓展（Doppler Spread）

信道的时变性表现为多普勒扩展（Doppler Spread）或多普勒频移（Doppler Shift）。

$$ f_{d}=\frac{v}{\lambda} \cos \theta $$

多普勒谱（Doppler Spectrum）

多普勒谱描述了功率谱与多普勒频移$f_d$的关系，描述了信道的频率弥散程度。

对于窄带系统而言，多普勒扩展引起的频率弥散将导致传输错误，但对宽带系统的影响有限。

当存在有多个多径分量时，每条多径的到达角度概率记为 $p_{\theta}(\theta) $，一个通用的模型（JakesModel）是假设到达波从各个方位等概率地到达、环境中不存在视距分量：
$$p_{\theta }(\theta )=\frac{1}{2\pi }$$
均匀分布的到达角模型会导致极不均匀的多普勒功率谱密度——U型谱。

相干时间（Coherence Time）

相干时间是多普勒扩展在时域的表现，用于描述信道的时变特性。

相干时间Tc是多普勒扩展在时域的表示，用于在时域描述信道频率色散的时变特性， 与相干时间成反比，瑞利衰落型信号可能急剧起伏的时间间隔：
$$T_C\approx \frac{1}{f_{\mathrm{d}}^{\max }}$$
若相干时间定义为时间相关函数大于 0.5的时间段长度，则相干时间近似为：
$$T_C\approx \frac{9}{16\pi f_{\mathrm{d}}^{\max }}$$
在现代数字通信中，一种普遍的定义方法是将相干时间定义为上面两式的几何平均：
$$T_C\approx \sqrt{\frac{9}{16\pi {\left(f_{\mathrm{d}}^{\max }\right)}^2}}=\frac{0.423}{f_{\mathrm{d}}^{\max }}$$
相干时间与符号周期的相对大小反映了信道衰落的快慢。

如果相干时间 > 符号周期，那么信道衰减和相移至少在一个信息比特间隔内是几乎保持恒定的，这时我们称信道为慢衰落信道。

很显然，慢衰落信道的相干时间较大，其多普勒扩展较小，信道变化慢于基带信号变化。

例1：以60mph速度行驶的汽车，载频为900MHz，只要符号速率就不会由于运动的原因导致失真。

例5.6：进行小尺度传播测量需要确定适当的空间取样间隔，以保证连续取样值之间有很强的时间相关性。在 $f_c=$ 900MHz及 $v=50\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 情况下，移动10米需要多少个采样值?

多径效应

由于反射、散射等影响，使得实际到达接收机的信号是发射信号经过多条传播路径后信号分量叠加而成，被称之为多径效应。有点像双线模型的拓展，只不过有更多条路径。

有多条径，信号就不会同时到达，就会有多个时延，统计学中通过极大值、平均值、方差等来反映数据特征。

时间色散参数（Time Dispersion Parameters）

离散的情况

首先从上图可以直观的得到：

最大时延扩展 （max delay spread）
$${\tau }_{\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{X}}={\tau }_{L-1}-{\tau }_0$$
显然，当部分多径分量较弱时， ${\tau }_{\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{X}}$ 不够准确。

平均附加延迟（mean excess delay）

计算第 $k$ 条多径分量的功率比重
$$b_k=\frac{a_k^2}{{\sum }_k{a}_k^2}=\frac{P\left({\tau }_k\right)}{{\sum }_{k}P\left({\tau }_k\right)}$$
PDP的一阶矩：
$$\bar{\tau }=b_k{\tau }_k=\frac{{\sum }_k{a}_k^2{\tau }_k}{{\sum }_k{a}_k^2}=\frac{{\sum }_{k}P\left({\tau }_k\right){\tau }_k}{{\sum }_{k}P\left({\tau }_k\right)}$$
RMS时延扩展（root mean square delay spread）

PDP的二阶中心矩：
$${\sigma }_{\tau }=\sqrt{\overline{{\tau }^2}-{\bar{\tau }}^2}$$
RMS时延扩展反映了多径分量的相对幅度

连续的情况

例：已知信道平均功率延迟分布 $\bar{\varphi }(\tau )=\alpha e^{-\tau /\beta }$， 其中 $\alpha =3\mathrm{d}\mathrm{B}，\beta =1\mathrm{u}\mathrm{s}$。 求该信道的rms延迟扩展。
$$\begin{gathered} \bar{\tau }={\int }_0^{\infty }\tau f(\tau )d\tau ={\int }_0^{\infty }\tau e^{-\tau /\beta }\frac{1}{\beta }\cdot d\tau =\beta =1\mathrm{u}\mathrm{s} \\ {\sigma }_{\tau }^2={\int }_0^{\infty }(\tau -\bar{\tau }{)}^{2}f(\tau )d\tau ={\int }_0^{\infty }(\tau -\beta {)}^2\cdot \frac{1}{\beta }{e}^{-\frac{\tau }{\beta }}d\tau ={\beta }^2 \\ \Rightarrow {\sigma }_{\tau }=\beta =1\mathrm{u}\mathrm{s} \end{gathered}$$

相关带宽（Coherence Bandwidth）

是从rms延迟扩展得到的信道频率特性

在一定范围内频率的统计测量值。在此范围内，两个频率分量具有很强的幅度相关性。
$$\begin{gathered} \rho =0.9B_c\approx \frac{1}{50{\sigma }_{\tau }} \\ \rho =0.5B_c\approx \frac{1}{5{\sigma }_{\tau }} \end{gathered}$$

根据多径信道的相干带宽和信号带宽的关系， 可分为平坦衰落信道和频率选择性衰落信道 。

例 : 对于典型室外信道有 ${\sigma }_{\tau }=1us$， 则 $B_C=\frac{1}{5{\sigma }_{\tau }}\approx 200\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$

GSM信号 : $\mathrm{B}\mathrm{W}=100\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}<B_C$， 平坦哀落，无ISI
WCDMA：$\mathrm{B}\mathrm{W}=5\mathrm{M}\mathrm{H}\mathrm{z}>B_C$， 频率选择性哀落，有ISI

信号带宽 < 信道带宽，符号周期 > RMS时延拓展，则为平坦衰落

瑞利信道

大量实测数据和理论分析表明，多径非视距时，接收信号的包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。

例：

计算瑞利信道 $\left({\sigma }^2=1/2\right)$ 中，信道衰减超过 20dB的概率。

计算瑞利信道中，相位偏差位于 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$ 之间的概率。

解:

衰减 $g=a^2\le 0.01,a\le 0.1$

$\mathrm{Pr}[a\le 0.1]={\int }_0^{0.1}2a{e}^{-a^2}da=1-e^{-0.01}\approx 0.01$

$\mathrm{Pr}\left[-\frac{\pi }{3}\le \varphi \le \frac{\pi }{3}\right]={\int }_{-\frac{\pi }{2}\pi }^{\frac{\pi }{3}}\frac{1}{2\pi }d\varphi =\frac{1}{3}$

瑞利分布的统计特性

描述平坦哀落信号接收包络最常用的分布：瑞利分布
$$f_R(r)=\{\begin{array}{cl}\frac{r}{{\sigma }^2}\exp \left(-\frac{r^2}{2{\sigma }^2}\right)& 0\le r<\infty \\ 0& r<0\end{array}$$
其中 ${\sigma }^2$ 为接收信号的时间平均功率;

瑞利分布在实际测量中非常准确;

在瑞利衰落中，不存在视距分量,

因此是最差场景下的结果;

仅仅依赖于单一参数 $\sigma$;

计算其他参数，如错误概率、功率分布等非常方便。

均值： $\bar{r}=\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}$

均方值（信道的平均增益）： $\overline{r^2}=2{\sigma }^2$

方差：$\overline{r^2}-(\bar{r}{)}^2=0.429{\sigma }^2$

中值：令${\int }_{-\infty }^{r}f(r)\mathrm{d}r=0.5，r_{50}=\sigma \sqrt{2\ln 2}$

最大值所在位置：令$\frac{\mathrm{d}f(r)}{\mathrm{d}r}=0,r=\sigma$

中断率（outage probability）

$$\mathrm{cdf}(a)={\int }_{-\infty }^a{f}_R(r)dr=1-\exp \left(-\frac{a^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
当 $a$ 较小时，中断概率近似为 $\mathrm{cdf}(a)\approx \frac{a^2}{2{\sigma }^2}$

例：计算瑞利信道中，接收信号功率低于平均功率20dB、 6dB和3dB的概率
解：已知在瑞利信道中，平均接收功率为
$$\bar{P}=\overline{a^2}=2{\sigma }^2$$
如果接收信号功率低于平均功率20dB, 则 $\frac{\bar{P}}{P}=\frac{1}{100}$;
$$\mathrm{Pr}\left(P<P_{\min }\right)=1-\exp \left(-\frac{1}{100}\right)=9.95\times 10^{-3}$$
类似可以计算得到 $6\mathrm{d}\mathrm{B},3\mathrm{d}\mathrm{B}$ 的结果分别为0.221和0.393

在瑞利信道中，接收信号功率（信道增益）服从指数分布

令 $P=a^2$ 为信号功率，有 $a=\sqrt{P}$ $f_P(P)=\frac{\sqrt{P}}{{\sigma }^2}{e}^{-\frac{P}{2{\sigma }^2}}\det \left(J_a\right)=\frac{\sqrt{P}}{{\sigma }^2}{e}^{-\frac{P}{2{\sigma }^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{P}}=\frac{1}{2{\sigma }^2}{e}^{-\frac{P}{2{\sigma }^2}}$

例：假设瑞利衰落信道的平均接收功率为 ${\bar{P}}_r=20\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}$, 求接收功率低于10dBm的概率。
解: ${\bar{P}}_r=20\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}=100\mathrm{m}\mathrm{W}$, 要求的是 $P_r<10\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}=$
10mW的概率，即
$$\mathrm{Pr}\left(P_r<10\right)={\int }_0^{10}\frac{1}{100}{e}^{-x/100}dx=0.095$$

瑞利信道中的衰落余量

为了保证不超过x%的中断率，有
$$\begin{gathered} \mathrm{Pr}\left(P_r<P_{\min }\right)=1-\exp \left(-\frac{P_{\min }}{\bar{P}}\right)<x \\ \frac{P_{\min }}{\bar{P}}<\ln \frac{1}{1-x}\to \frac{\bar{P}}{P_{\min }}>\frac{1}{\ln \frac{1}{1-x}} \end{gathered}$$
哀落余量可近似为1/x。
$$\mathrm{Pr}\left(P_r<P_{\min }\right)=\frac{P_{\min }}{\bar{P}}<x$$
当同时考虑大尺度和小尺度衰落时，总衰落余量有
$${M|}_{\mathrm{d}\mathrm{B}}={M_{\text{shadowing }}|}_{\mathrm{d}\mathrm{B}}+{M_{\text{Rayleigh }}|}_{\mathrm{d}\mathrm{B}}$$

电平通过与衰落统计

电平通过率（LCR）：用于统计接收信号的时间变化率;
$$N_R={\int }_0^{\infty }\dot{r}p(R,\dot{r})dr=\sqrt{2\pi }{f}_d^{\max }\rho e^{-{\rho }^2}$$
其中 $\rho =R/R_{rms}$ 是特定电平 $R$ 相对于衰落包络的本地rms幅度 的归一化值。一般情况当 $\rho =1/\sqrt{2}$ 处 , 可认为处于深度衰落。

平均衰落持续时间（ADF）：接收信号低于某指定电平的 平均时长;
$$\bar{\tau }=\frac{1}{N_R}\cdot \mathrm{Pr}[r\le R]$$
在瑞利信道下，有
$$\bar{\tau }=\frac{e^{{\rho }^2}-1}{\rho f_d^{\max }\sqrt{2\pi }}$$
依赖于移动台的运动速率，随多普勒频移增大而减小。

莱斯信道

在瑞利信道的基础上增加一个视距分量

当信道中存在一个固定的直射分量时，接收信号是复高斯 分量和直射分量的叠加，包络服从莱斯分布：
$$p_R(r)=\frac{r}{{\sigma }^2}\exp \left[-\frac{r^2+A^2}{2{\sigma }^2}\right]I_0\left(\frac{Ar}{{\sigma }^2}\right)z\ge 0,A\ge 0$$
其中 $A$ 为直射信号的幅度， $2{\sigma }^2$ 为其他非直射分量的平均功率， In是修正的零阶贝塞尔函数。莱斯衰落的平均接收功率为:
$${\bar{P}}_r={\int }_0^{\infty }{r}^2{p}_R(r)dr=A^2+2{\sigma }^2$$
莱斯系数定义为
$$K=\frac{A^2}{2{\sigma }^2}$$
当 $K\to 0$ 时，莱斯分布回退为瑞利分布;
当K足够大时，莱斯分布近似可看做 $p_R(r)\sim N\left(A,{\sigma }^2\right)$
$$I_0(x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\exp (x),x\gg 1$$

直达径的影响

直达径分量的存在同样改变了信道的相位分布；

由于直达径的主导特性，相位分布趋向于冲激函数形状，且取值接近直达径分量相位；

莱斯信道的衰落余量

莱斯信道的中断率：
$$P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\mathrm{cdf}\left(r_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)={\int }_0^{r_{\min }}{f}_R(r)dr=1-{\mathrm{Q}}_{\mathrm{M}}(\underset{\sigma }{}$$