基于python的numpy和pandas库的灰色关联分析及可视化(含实例)

使用python实现灰色关联分析及其可视化

• 在这里总结一下的数学建模常用的几种模型评估方法，这里讲的是使用python的Pandas库和高效的Numpy科学计算库实现。如果想看用Python实现的模型的灵敏度分析，可以看我上一篇博文，传送门: 模型灵敏度分析及可视化. 下面将详细介绍灰色关联度分析并一个实例结束文章。

灰色关联分析法

简介

• 灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统（或因素）之间的数值关系。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。

使用场景

• 适用于对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。

具体计算步骤

第一步，确定分析数列

• 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
  （1）参考数列（又称母序列）：能反映系统行为特征的数据序列，类似于因变量Y
  $$Y=Y(k)\mid k=1,2...n；$$
  （2）比较数列（又称子序列）：影响系统行为的因素组成的数据序列，类似于自变量X
  $$Xi=Xi(k)\mid k=1,2...n,i=1,2...m$$
  ​

第二步，变量的无量纲化

• 对变量进行预处理
  目的：去除量纲，缩小度量范围简化计算，便于比较
  处理：对母序列和子序列的每个指标进行预处理：
  常用方法: 标准化，归一化

1. 标准化：
   $$x^{\ast }=(x-\mu )/\sigma （\mu 为均值，\sigma 为标准差）$$
2. 归一化:
   $$x^{\ast }=x-min(x)/max(x)-min(x)$$

第三步，计算关联系数

上式中，$\xi (k)$为$x^i$对$y(k)$在$k$点的关联系数; $|y(k)-x_i(k)|$为第$k$点$y$与$x_i$的绝对差；$minmin|y(k)-x_i(k)|$为$y$数列与$x_i$的数列在$k$点的二级最小差数绝对值， $maxmax|y(k)-x_i(k)|为$y$数列与$x_i的数列在$k$点的二级最大差数绝对值, $\rho$为灰色分析系数，取值0~1,一般取0.5。将各性状的关联系数代入公式，可求出$x_i$与$y(k)$的关联度$r_i$:

$$r_i=\frac{1}{n}\sum _{k=i}^n{\xi }_i(k)$$

实例

• 为研究红酒各因素之间的影响，使用关联对其进行分析
  
• 代码(含注释)

# 导入可能要用到的库
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

# 读取数据
wine = pd.read_excel("C:/Users/Administrate/Desktop/wine.xls",index_col=0)
wine

# 无量纲化
def dimensionlessProcessing(df_values,df_columns):
    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
    scaler = StandardScaler()
    res = scaler.fit_transform(df_values)
    return pd.DataFrame(res,columns=df_columns)

# 求第一列(影响因素)和其它所有列(影响因素)的灰色关联值
def GRA_ONE(data,m=0): # m为参考列
    # 标准化
    data = dimensionlessProcessing(data.values,data.columns)
    # 参考数列
    std = data.iloc[:,m]
    # 比较数列
    ce = data.copy()
    
    n = ce.shape[0]
    m = ce.shape[1]
    
    # 与参考数列比较，相减
    grap = np.zeros([n,m])
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            grap[j,i] = abs(ce.iloc[j,i] - std[j])
            
    # 取出矩阵中的最大值和最小值
    mmax = np.amax(grap)
    mmin = np.amin(grap)
    ρ = 0.5 # 灰色分辨系数
    
    # 计算值
    grap = pd.DataFrame(grap).applymap(lambda x:(mmin+ρ*mmax)/(x+ρ*mmax))
    
    # 求均值，得到灰色关联值
    RT = grap.mean(axis=0)
    return pd.Series(RT)

# 调用GRA_ONE，求得所有因素之间的灰色关联值
def GRA(data):
    list_columns = np.arange(data.shape[1])
    df_local = pd.DataFrame(columns=list_columns)
    for i in np.arange(data.shape[1]):
        df_local.iloc[:,i] = GRA_ONE(data,m=i)
    return df_local

data_gra = GRA(data)
data_gra

# 结果可视化
import seaborn as sns # 可视化图形调用库
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

def ShowGRAHeatMap(data):
    # 色彩集
    colormap = plt.cm.RdBu
    plt.figure(figsize=(18,16))
    plt.title('Person Correlation of Features',y=1.05,size=18)
    sns.heatmap(data.astype(float),linewidths=0.1,vmax=1.0,square=True,\
               cmap=colormap,linecolor='white',annot=True)
    plt.show()

ShowGRAHeatMap(data_gra)

• 最终结果可视化