字符串虐哭空巢老人记
BY：去不了冬令营的徐叔叔
本文共分两个部分：算法粗略介绍和模板、奇妙性质及其应用（优秀题目选讲）
算法模板
1.(树)哈希
怎么乱怎么来，越乱越好。
复杂度\(\mathcal{O} (n)\)
2.kmp
求最长border
for(int i=1;i<=l;i++)
{
int j=nxt[i-1];
while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=nxt[j];
nxt[i]=j+(s[i]==s[j+1];
}复杂度\(\mathcal{O} (n)\)
3.Manacher
求以某点为中心的最长回文
for(int i=1;i<=l;i++) s[++l]='#',s[++l]=t[i];s[++l]='#';
for(int i=1,C,R;i<=l;i++)//回文中心C 回文最右端点
{
p[i]=i<=R?min(p[C*2-i],R-i):1;
while(s[i+p[i]]==s[i-p[i]]&&i+p[i]<=l&&i-p[i]>=1) p[i]++;
if(i+p[i]-1>R) R=i+p[i]-1,C=i;
Ans=max(Ans,p[i]-1);//最长回文子串
}每次进入while时，必定R会右移
R和C两个单调指针，复杂度\(\mathcal{O}(n)\)
4.后缀数组
对一个字符串的所有后缀排序，并可以求出排名相邻的后缀的lcp
int cmp(int i,int j,int k) {return y[i]==y[j]&&y[i+k]==y[j+k];}
void Sort()
{
for(int i=1;i<=m;i++) t[i]=0;
for(int i=1;i<=l;i++) t[x[i]]++;
for(int i=1;i<=m;i++) t[i]+=t[i-1];
for(int i=l;i>=1;k--) SA[t[x[y[i]]]--]=y[i];
}
void GetSA()
{
for(int i=1;i<=l;i++) x[i]=s[i],y[i]=i;Sort();
for(int k=1,p=0;k<=l;k<<=1)
{
for(int i=l-k+1;i<=l;i++) y[++p]=i;
for(int i=1;i<=l;i++) if(SA[i]>k) y[++p]=SA[i]-k;
Sort();swap(x,y);x[SA[1]]=p=1;
for(int i=2;i<=l;i++) x[SA[i]]=cmp(SA[i],SA[i-1],k)?p:++p;
if(p==m) return;m=p;p=0;
}
for(int i=1;i<=l;i++) rk[SA[i]]=i;
for(int i=1,j=0;i<=l;i++)
{
while(s[i+j]==s[SA[rk[i]-1]+j]) j++;
h[rk[i]]=j;if(j) j--;
}
}复杂度\(\mathcal{O} (nlogn)\)
5.(广义)后缀自动机
用一个DAG表示一个串中所有的子串。广义即多个串，要求BFS建SAM。
3+2+3行
//SAM
void Extend(int c)
{
int f=lst,p=++nod;lst=p;len[p]=len[f]+1;
while(f&&!ch[f][c]) ch[f][c]=p,f=fa[f];
if(!f) {fa[p]=1;return;}
int x=ch[f][c],y=++nod;
if(len[x]==len[f]+1) {fa[p]=x;nod--;return;}
memcpy(ch[y],ch[x],sizeof(ch[y]));
len[y]=len[f]+1;fa[y]=fa[x];fa[x]=fa[p]=y;
while(f&&ch[f][c]==x) ch[f][c]=y,f=fa[f];
}至于广义SAM为什么要加两个特判呢，我觉得我之前的博客并没有讲清楚
如果不加特判，直接\(lst=1\)，那么会加入无用节点，该节点有连边、有fail父亲，但是在DAG上无入度。绝大多数情况下，不加特判是没有问题的。
加了特判之后，没有无用节点（可能有但是没有连出去的边），并且在后方确定了下一个接节点的位置，能够保证对以后无影响。当在要记录串插到哪一个位置、用lct维护该位置fail树上的信息时，肯定就不能存无用位置了。
加特判是一个好习惯。没有加在BZOJ5408会WA，当然数据要精心构造才能卡掉。
//广义SAM
int Extend(int f,int c)
{
if(ch[f][c]&&len[ch[f][c]]==len[f]+1) return ch[f][c];//！
int p=++nod,ff=0;len[p]=len[f]+1;
while(f&&!ch[f][c]) ch[f][c]=p,f=fa[f];
if(!f) {fa[p]=1;return p;}
int x=ch[f][c],y=++nod;
if(len[x]==len[f]+1) {fa[p]=x;nod--;return p;}
if(len[p]==len[f]+1) ff=1;//！
memcpy(ch[y],ch[x],sizeof(ch[y]));
len[y]=len[f]+1;fa[y]=fa[x];fa[x]=fa[p]=y;
while(f&&ch[f][c]==x) ch[f][c]=y,f=fa[f];
return ff?y:p;
}复杂度\(\mathcal{O} (n)\)
6.回文树
用一个DAG表示一个串中所有的回文子串。
其每个点表示以其结尾的最长回文后缀
struct PAM
{
int fail[N],ch[N][26],len[N],nod,lst;
void init() {fail[0]=fail[1]=nod=1;len[1]=-1;}//匹配奇偶回文的1、0点
void extend()
{
int p=lst;
while(s[i-len[p]-1]!=s[i]) p=fail[p];
if(ch[p][c]) {lst=ch[p][c];return;}
int x=++nod,k=fail[p];
lst=ch[p][c]=x;len[x]=len[p]+2;
while(s[i-len[k]-1]!=s[i]) k=fail[k];
fail[x]=ch[k][c];
}
}回文树有个\(fail\)链上大于\(\mathcal{\frac{l}{2}}\)的回文长度等差的神奇性质
于是可以记录\(anc[i]\)表示等差数列的结尾，\(diff[i]\)表示公差
如果要累加答案的话，累加的是掐尾的答案（就是说不算\(anc\)）
7.后缀平衡树
用替罪羊树维护后缀排序，支持前端插入、删除。
核心思想为：\(Suf_A\)<\(Suf_B\)，则\(s[A]
由此，用\(double\)类型存储后缀的排序关系，并以此为替罪羊树的关键字，可以实现两个后缀的\(\mathcal{O}(1)\)的比较。也正因为\(double\)的精度问题，对树高有要求，所以用替罪羊树。具体来说，替罪羊树的节点\(i\)表示第\(i\)个后缀（实际在操作过程中\(reverse\)了，节点\(i\)表示前缀\(i\)）
//BZOJ4768 wxh loves substring
#include
#include
#include
#include
#include
#define lc t[x].ch[0]
#define rc t[x].ch[1]
using namespace std;
const int N=3e6+10;
const double Alpha=0.8;
struct goat{int siz,ch[2];double a;}t[N];
int mask,n,q,l,rt,tot,sta[N],top,ans;
char s[N],op[10],que[N];
void build(int &x,int L,int R,double l,double r)
{
int MID=(L+R)>>1; t[x=sta[MID]].siz=R-L+1;
double mid=(l+r)/2; t[x].a=mid;
if(LMID) build(rc,MID+1,R,mid,r);
}
void pia(int &x) {if(!x) return;pia(lc);sta[++top]=x;pia(rc);x=0;}
void ins(int &x,int p,double l,double r,int fl)
{
if(!x) {x=p;lc=rc=0;t[x].a=(l+r)/2;t[x].siz=1;return;}
int fs=fl;t[x].siz++;
if(s[p]=Alpha*t[x].siz);
ins(lc,p,l,t[x].a,fs);
}
else
{
fs|=(t[rc].siz+1>=Alpha*t[x].siz);
ins(rc,p,t[x].a,r,fs);
}
if(!fl&&fs) top=0,pia(x),build(x,1,top,l,r);
}
void upd(int x) {t[x].siz=t[lc].siz+1+t[rc].siz;}
int merge(int x,int y)
{
if(!x||!y) return x+y;
if(t[x].siz>t[y].siz) return rc=merge(rc,y),upd(x),x;
else return t[y].ch[0]=merge(x,t[y].ch[0]),upd(y),y;
}
void del(int &x,int p)
{
if(x!=p) t[x].siz--,del(t[p].as[x-i];break;}
return fl?t[lc].siz+1+query(rc):query(lc);
}
void readstr()
{
scanf("%s",que);l=strlen(que);
for(int i=0,tt=mask;i>q;scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;i++) ins(rt,i,0,1e9,0);
while(q--)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='Q')
{
readstr();reverse(que,que+l);
ans=-query(rt);que[l]='Z'+1;ans+=query(rt);
printf("%d\n",ans);mask^=ans;
}
if(op[0]=='A')
{
readstr();
for(int i=1;i<=l;i++)
s[n+i]=que[i-1],ins(rt,n+i,0,1e9,0);
n+=l;
}
if(op[0]=='D')
{
scanf("%d",&l);n-=l;
for(int i=1;i<=l;i++) del(rt,n+i);
}
}
}
性质应用
一、KMP
1.带匹配的DP计数问题
如HNOI2008 GT考试，求长度为\(n\)的不包含\(S\)的串的个数，\(|S|\le 20\)。把KMP的转移丢进矩阵即可求解
2.Border的长度限制问题
要求\(Border\in [l,r]\)才能对答案计算贡献，求贡献
一类问题如BZOJ3620 似乎在梦中见过的样子&&NOI2014 动物园。作为好题选讲。
3.Border是等差数列
一个位置上的所有Border的长度是log段等差数列
详见WC2016 论战捆竹竿
4.根据nxt数组构造原字符串
BZOJ4974 字符串大师：要求构造出来字符串最短
那么不选\(ban\)掉的字符贪心地构造就好了
5.用到Border方便计数的题
CTSC2006 歌唱王国，作为好题选讲。
二、Trie&AC自动机
1.带匹配的DP计数问题
把AC自动机建成Trie图后直接在AC自动机上走，边走边计数。
如BJWC2011 禁忌：求一个长度为\(10^9\)的随机串不重叠地出现给定文本串的期望次数
解法就是把\(AC\)自动机上的转移弄成矩阵（\(f[i][j]\)表示随机到长度i，走到AC自动机上\(j\)节点的概率），注意把文本串结尾位置的下一步应该是\(AC\)自动机的根，同时对答案产生概率\(×1\)的贡献。记录\(g[i]\)表示随机到长度\(i\)的期望出现的文本串个数。矩阵加速求解。
2.fail树
如NOI2011 阿狸的打字机。巧妙地把问题转化为\(fail\)树上数点问题，拿线段树合并或其他什么东西随便搞搞就好了。
三、Manacher&PAM
1.Border是等差数列
以同一个位置结尾的所有回文子串的长度是log段等差数列
Codeforces932G Palindrome Partition YYB(redsun) orz
题意：把一个串\(S\)分成偶数段\(s_1,s_2,s_3...s_k\)并满足\(s_1=s_k,s_2=s_{k-1},s_3=s_{k-2}....\)的方案数，\(|S|\le1e6\)
题解：重构串为\(S_1S_kS_2S_{k-1}S_3....\)，则要求把\(S'\)划分成若干段，使得每一段都是偶回文的方案数。有一个显然的DP：\(dp[i]\)表示划分到\(i\)的方案数，然而转移要从\(dp[1....i-1]\)转移，判断条件是\(S_{j...i}\)是否是偶回文。用回文树优化这个转移，存一段等差数列的\(dpsum\)，就可以实现\(\mathcal{O} (logn)\)的单次转移
四、SA
求解两后缀的LCP（最长公共前缀）
大部分的题目都是求出\(height\)数组后在序列上xjb乱搞
结构
1.各个数组含义
\(SA[i]\)表示排名为\(i\)的后缀，\(rk[i]\)表示\(i\)后缀的排名，\(h[i]\)表示\(LCP(Suf_{SA[i]},Suf_{SA[i-1]})\)
通过\(ST\)表实现\(\mathcal{O}(1)\)的\(LCP\)查询
性质
1.本质不同子串问题
\(Ans=sum-\sum height[i],sum=\frac{n(n+1)}{2}\)
即为所有子串\(-lcp\)中的重复子串
2.品酒大会一类问题
就是在height上搞事情。
- NOI2015 品酒大会：\(height\)上从大往小做，用并查集维护答案。
- HEOI2016 字符串：\(height\)上二分查询存在性，用主席树维护答案。
- 还有一类问题就是求出\(height\)后最值分治
五、SAM
求解两前缀的LCS（最长公共后缀）
结构
1.转移图
其转移图为一张\(DAG\)，每条从\(1\)到某节点的路径对应一个原串的子串。这张\(DAG\)恰能对应出所有的子串。
每个节点对应着若干从\(1\)到该节点的路径，也就是对应若干字符串。可以证明，这些字符串的长度是一个区间\([shortest,longest]\)。
同时每个节点也有一个\(endpos\)集合，表示这个节点对应的所有子串的所有结尾位置。
- 关于\(len\)数组：\(len[x]\)表示该节点能表示的最长的子串长度。也就是\(longest\)。
2.Parent树
一个节点的\(fail\)父亲对应的串 是在自动机中能表示的 该节点对应串的最长后缀（意义同AC自动机）。
- 关于\(len\)数组：\(shortest_x=longest_{fa}+1\)，也就是说一条\(fail\)链上的点能表示的子串长度也是连续的。
- 关于\(siz\)数组：\(siz[x]\)表示该节点表示的子串在原串中的出现次数。在实际操作过程中，\(siz\)通常只打在一个点上，\(siz\)只有对\(fail\)树的子树求和才有意义，因为一个点代表的串出现了，其父亲代表的串一定出现了。
性质
1.SAM上的匹配问题
如CTSC2012 熟悉的文章：在\(S\)中选取一些子段（不交），使得子段长度和\(>|S|*90\%\)，且子段都是给定文本串的子串。求这些子段的最小长度的最大值。
\(SAM\)上的匹配直接像\(AC\)自动机那样顺着走就好了，只是失配的时候要跳\(fail\)。根据势能分析跳\(fail\)的次数不超过顺着走的次数，故复杂度还是\(\mathcal{O} (n)\)。
2.本质不同的子串问题
直接就是\(\sum len[i]-len[fa[i]]\)，或者可以统计DAG上有多少条拓扑路径。
然而有一种统计树上路径本质不同子串问题：ZJOI2015 诸神眷顾的幻想乡。
这题需要用到一个性质：树上路径一定是某叶子节点到另一叶子节点的路径的子段。所以这题叶子数很少，直接对每个叶子\(dfs\)后用\(bfsTrie\)建广义\(SAM\)即可
3.独特子串问题
如USACO Standing Out from the Herd：求每个串的独特子串个数
用广义\(SAM\)，一个节点属于多个集合当且仅当其\(fail\)的子树内存在节点被多次访问。最后答案就是插入该串时每次的\(lst\)的\(\sum [x\ only\ belong\ to\ S_i](len[x]-len[fa[x]])\)
4.Parent树与线段树合并（维护endpos）
快速查询某个子串在\([l,r]\)内的出现次数：Codeforces700E Cool Slogans
5.Parent树与LCT（维护siz）
例如BZOJ5408 string，作为好题选讲。
这题主要在于维护\(siz\)数组，需要支持链加操作，所以用\(LCT\)维护。但是由于不能改变树的形态，所以不能使用\(makeroot\)函数，直接\(Access(x)\)然后\(splay(x)\)然后就可以直接删了。
6.SAM的后端删除
BZOJ5084 hashit：求支持后端删除的SAM中本质不同的子串个数。
- 后缀平衡树模板：利用后缀排序求本质不同子串个数。
- \(set\)做法：用\(set\)维护后缀排序。可以借用后缀平衡树的思想做到一个\(log\)，也可以用二哈做两个\(log\)
- 正经SAM做法：串的轨迹是一棵Trie。你发现如果一个点在当前串内，那么该点到\(fail\)根的\(fail\)链所表示的字符串一定都出现了。所以说一个点出现了那么它的\(fail\)链就要算答案。所以就是维护所有出现的点的\(fail\)链的链并！（树链的并是一些点到根的路径的并，可以直接用\(dfn\)序\(+set\)维护，具体可见GXZlegend的标签）
7.LCP向（周期串问题）
Hihocoder 后缀数组四·重复旋律4：求原串中可以被划分成最多段循环节的子串的循环节段数。
如果串\([l,r]\)的周期是\(len\)，则\(LCP(Suf_l,Suf_{l+len})>=r-l+1-len\)。这个性质在Codeforces17E Palisection也有体现。
- SA做法：枚举\(len\)，并且只枚举以\(len\)的倍数开头的位置。当所求串并不是以\(len\)的倍数的位置开头时，LCP会多出一段。通过那一段倒推出应该是开头的位置后再算一次LCP即可，复杂度\(\cal O(nlogn)\)。
- SAM做法：固定LCS类问题，见下
8.LCP向（固定LCS类问题）
SAM支持求前缀的公共后缀，\(reverse\)一下就成\(LCP\)了
在SAM的\(fail\)树上固定一个点，则该点是子树内的某两点的LCS（可能不是最长，那就是某两点的CS好了）
对于上面那道题，就是固定LCP后使得\(r-l\)最小，于是用\(set+\)启发式合并维护\(endpos\)集合，复杂度\(\cal O(nlog^2n)\)
9.LCP向（区间Border）
BJWC2018 Border的四种求法：求区间Border，\(n,q\le 10^5\)
区间\(Border\)是区间内两个前缀的最长LCS（当然要在范围之内）。问题转化为求最大的\(i\)使得\(l\le i
得到一个暴力做法：暴力在每个\(r\)处跳\(fail\)链，线段树合并维护\(endpos\)集合，在线段树里查
考虑正解：提交记录链接
对于在询问节点子树内的点，直接\(endpos\)线段树合并查询\([l,min(r,lcs(i,r)-l)-1]\)内出现过的最大的i。
对于\(lcs\)是\(fail\)链上的点的情况，（想不到啊）\(fail\)树树链剖分后，把询问挂在各个\(fa[top[x]]\)。然后设计一个以位置为下标，\(i-lcs+1\)为权值的维护最小权值的线段树（因为要求的是满足\(i-lcs+1\le l\)的\(i\)），在重链自顶向下做一个前缀和（线段树合并），到达某询问的时候查询比\(l\)小的且在范围\([l,r-1]\)内的最大的i是什么。具体来说，如果右儿子的最小值小于\(l\)则往右边递归，如果发现那个最小值不在范围之内，就回来往左递归。
酱紫每个询问被插入\(log\)次，查询每个询问耗时\(log\)，总复杂度\(\cal O(nlog^2n)\)。
六、Hash
1.二分+Hash（二哈求LCP）
如BZOJ3946 无聊的游戏：区间插入前缀&区间查询LCP
用一个主席树维护各个位置的哈希值，然后二分判断就好了。懒标记是一棵主席树
七、其他
1.前后缀的转化
操作就是\(\mathcal {reverse}\)串，根据什么算法能维护什么去灵活变化
例如BJWC2018 词韵，化后缀为前缀后直接用\(Trie\)然后\(DP\)就可以了
2.子串和子序列
子串就是SAM，子序列就是序列自动机（\(nxt[i][j]\)表示\(i\)位置后第一个\(j\)字符的出现位置）
例如HEOI2015 最短不公共子串（毒瘤四合一）：给两个串A、B（\(len\le 2000\)）
- 求A的最短子串，使得不是B的子串
- 求A的最短子串，使得不是B的子序列
- 求A的最短子序列，使得不是B的子串
- 求A的最短子序列，使得不是B的子序列
解决方式：
B建SAM，暴力枚举A的子串
求B的\(nxt\)，暴力枚举A的子串
B建SAM，设\(f[i][j]\)表示A串到第\(i\)个位置，已经到了第\(j\)个SAM节点的最小子序列长度，转移就是
f[i+1][ch[j][A[i+1]-'a']]=f[i][j]+1,f[i+1][j]=f[i][j]（都是取\(min\)，失配时贡献答案）
求B的\(nxt\)，设\(f[i][j]\)，含义以及转移同上
3.通配符匹配问题
- AHOI2005 病毒检测：若干串去匹配一个带通配符的文本串，其中
*表示可以通配一段，?表示可以统配一个。串长\(\le 1000\)。正解：Trie+BFS。 - CQOI2014 通配符匹配：题意同上，但串长\(\le10^5\)，通配符数量不超过\(10\)。正解：Hash+DP，设计\(dp[i][j]\)表示到第\(i\)个通配符之前，匹配上了模式串的第\(j\)位，相当于用通配符分割原串成若干段，每一段都用哈希判断是否相同。
To be continued...
PS：PDF阅读体验更佳，但是不会及时更新。有帮助的话点个推荐吧，mua～