量子计算 4 超光速信息传播？密度矩阵与混合态
量子计算 4 密度矩阵与混合态
- 1 纠缠的量子比特
- 2 光速的信息传播？(bushi)
- 3 密度矩阵(Density matrix)与混合态(Mixed state)
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- 3.1 混合态
- 3.2 密度矩阵
- 3.3 约化密度矩阵(Reduced density matrix)
- 3.4 酉变换与密度矩阵
- 3.5 No-Communication theorem
- 4 密度矩阵的性质
- 5 Bloch shpere
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今天的内容，将从两个纠缠的量子比特开始，通过讨论是否可以通过纠缠的量子比特来实现信息的光速传播，由此介绍量子比特的密度矩阵、混合态、Bloch Shpere等概念。
1 纠缠的量子比特
今天的故事要从两个纠缠(Entangled)的量子比特说起。在量子计算3中我们看到，如果两个比特的状态不能用张量积的形式写出来的话，就认为这两个比特间发生了纠缠，在量子计算3中，我们学习了Bell Pair，也称Singlet或者EPR Pair，其可用以下的量子电路产生。
该量子电路的运算如下所示：
首先用Hadamard门将第一个量子比特从 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩变成 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩，然后用CNOT门在第一个量子比特为1的时候翻转第二个量子比特。这样就得到了一个纠缠的Bell Pair。纠缠的量子比特，在纯态的表达方式中，就是双量子比特的纯态无法写成两个独立的量子比特纯态的张量积。
量子纠缠的现象也让爱因斯坦很困惑，因为该现象说明，如果两个量子比特足够接近以至于产生纠缠后，无论将他们分开多远，量子纠缠依然存在。这个最远距离在2018年的时候被中国的卫星试验在150英里也就是240公里的距离上进行了验证。好像两个纠缠的量子比特间有着鬼魅般的联系一样。
2 光速的信息传播？(bushi)
对于该双量子比特状态，Bell Pair = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 =\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} =2∣00⟩+∣11⟩，张三拿着第一个比特跑到了月亮上，李四拿着第二个比特呆在地球，然后张三用基态 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩测量他的量子比特，第一个量子比特会坍塌成 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩或者 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，则因为纠缠的作用，李四的量子比特也会坍塌成 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩或者 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，这从Bell Pair的状态即可知道。那说明，张三得知自己的结果之后，李四的结果他也马上知道了。这让爱因斯坦很困惑，虽然其他人可能觉得没什么，因为张三并不能控制测量的结果，而两个比特的联系可能就像经典世界里两个随机变量的关联一样。
爱因斯坦进行了更多的脑洞，如果张三在 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩基下测量他的第一个比特呢？那张三要先用H门变换一下然后再用 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩测量，这相当于直接用 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩基测量：
然后张三看到了 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩，那李四的量子比特就变成了：
如果张三看到了 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，那李四的量子比特就变成了：
爱因斯坦讨论讲，如果张三用 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩测量，李四的状态会坍塌成 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩或者 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，如果张三用 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩测量，李四的状态会坍塌成 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩或者 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩，这好像是一种超光速信息传播。
但是呢，其实李四并不知道张三是用什么基测量的，其实如果李四一直用 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩或者 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩测量，那不管李四用的是 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩还是 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩，那张三看到 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩的概率始终是相同的，因此并没有超光速信息传播，还是符合狭义相对论的。
不过呢，我们还是想使用一种新的状态表达方式，使得李四手里的量子态完全不受张三的影响，这就是密度矩阵的表达方式。
3 密度矩阵(Density matrix)与混合态(Mixed state)
我们看到张三在 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩和 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩两组基下测量的时候，李四的量子比特确实是会坍塌成 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩和 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩两组不同的量子态，而且对李四来说，在张三用 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩测量的时候，李四的量子比特的纯态，有一半的可能是 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩，另一半的可能是 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩。因此我们将引入密度矩阵和混合态来描述这种纯态的概率分布。
3.1 混合态
我们定义混合态为量子态的概率分布，表达为 { p i , ∣ ψ i ⟩ } \{p_i,|\psi_i\rangle\} {pi,∣ψi⟩}，则纯态其实可以认为是混合态的特殊情况，即混合态中某个纯态的概率为1的特殊情况。混合态有个tricky的地方是，不同的纯态概率分布，可能产生同样的混合态。
3.2 密度矩阵
混合态的表达，用密度矩阵来实现，对于混合态 { p i , ∣ ψ i ⟩ } \{p_i,|\psi_i\rangle\} {pi,∣ψi⟩}，其密度矩阵为：
其中 ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ |\psi_i\rangle \langle\psi_i| ∣ψi⟩⟨ψi∣是纯态 ∣ ψ i ⟩ |\psi_i\rangle ∣ψi⟩和自己的外积。这使得密度矩阵 ρ \rho ρ是埃尔米特(Hermitian)矩阵。对于标准基 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩态，他们的均匀混合(Mixture)为：
对于Hadamard基 ∣ + ⟩ , ∣ − ⟩ |+\rangle, |-\rangle ∣+⟩,∣−⟩，他们的均匀混合为：
这说明，这两组纯态的均匀混合带来的是相同的密度矩阵，这也对应于不管张三怎么测量，李四的量子比特的量子态都具有同样的密度矩阵。
值得注意的是，对于任意两个正交的基态 ∣ v ⟩ |v\rangle ∣v⟩和 ∣ w ⟩ |w\rangle ∣w⟩，它们的均匀混合都是一样的：
而密度矩阵 I 2 \frac{I}{2} 2I被称为最大混合态(Maximally Mixed State)。可以认为最大混合态就像是一枚均匀的硬币，不管从任意两个正交基 ∣ v ⟩ , ∣ w ⟩ |v\rangle,|w\rangle ∣v⟩,∣w⟩去测量，其结果都是均等的：
在最大混合态的情况下，张三不管怎么操作和测量，李四的观测结果都不会受到影响。
3.3 约化密度矩阵(Reduced density matrix)
我们讨论的张三李四的这个测量操作过程，可以用另一个方式来打开。我们上面讨论的密度矩阵是对于一个量子比特来讲的，对于另一对纠缠的量子比特来说：
我们怎么找到李四持有的第二个量子比特的密度矩阵呢，首先重写一下，如果张三在 ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ |0\rangle, |1\rangle ∣0⟩,∣1⟩基下测量的话，重写成以下形式：
所以张三的测量会有 2 3 \frac{2}{3} 32的概率使得李四的量子比特变成 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩，另有 1 3 \frac{1}{3} 31的概率使得李四的量子比特变成 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩。则李四的(约化)密度矩阵为：
推广一下，对于一个双比特纯态：
李四的(约化)密度矩阵为：
这个从一个复合系统的纯态，到部分系统的混合态的过程，称为 Tracing out.
3.4 酉变换与密度矩阵
对密度矩阵 ρ = ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ \rho=\sum_ip_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i| ρ=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣实施酉变换，相当于：
3.5 No-Communication theorem
上述讨论的情况推广一下就是
No-Communication theorem：张三李四共享一个纠缠态，张三的操作都不会影响李四的密度矩阵。
张三观测的结果就可以看成是混合态的概率，对密度矩阵自然没有影响，那张三如果在不同的基下测量，或者使用任意的酉变换，其对李四的密度矩阵也没有影响，这个证明过程可以私信我。
因此量子纠缠也逃不了爱因斯坦的相对论设下的限制，爱因斯坦终于不用纠结超光速传播的问题了。
4 密度矩阵的性质
密度矩阵的非对角项，代表了我们观察到的量子性，在实验中，非对角项越大，说明实验结果越好，而当一个量子系统与环境相互作用时，非对角项会变成零。但是非对角项和基的选择是有关的，通过基变换总可以使得非对角项为零。
密度矩阵计算概率，密度矩阵，里面涵盖了量子比特的所有信息，从3.2 里也看到，对于用密度矩阵表达的混合态，其在基 ∣ v ⟩ |v\rangle ∣v⟩和 ∣ w ⟩ |w\rangle ∣w⟩的测量概率为：
密度矩阵必须是方阵
密度矩阵必须是埃尔米特(Hermitian)矩阵
密度矩阵必须是半正定矩阵，迹为1
因为概率肯定是大于等于零的，且其迹为1，因为概率之和为1。当其秩为1时，表达的就是个纯态。
5 Bloch shpere
当我们将量子比特画在单位圆上时，有一半的空间是浪费的，因为对于量子态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩和 − ∣ ψ ⟩ -|\psi\rangle −∣ψ⟩，其表达的物理状态相同，因为具有相同的密度矩阵。于是科学家想出来一个好主意，就是把正交的向量画成相反的方向（头大）。
于是， ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩作为一个轴的两个相反方向，同样的还有 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩和 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩，以及 ∣ i ⟩ |i\rangle ∣i⟩和 ∣ − i ⟩ |-i\rangle ∣−i⟩, ( ∣ i ⟩ = ∣ 0 ⟩ + i ∣ 1 ⟩ 2 , ∣ − i ⟩ = ∣ 0 ⟩ − i ∣ 1 ⟩ 2 ) (|i\rangle=\frac{|0\rangle+i|1\rangle}{\sqrt{2}},|-i\rangle=\frac{|0\rangle-i|1\rangle}{\sqrt{2}}) (∣i⟩=2∣0⟩+i∣1⟩,∣−i⟩=2∣0⟩−i∣1⟩)。于是，一个三维的Bloch Sphere就诞生了！
在圆上的状态都是纯态，而里面的点表达的都是混合态，其中原点其实是最大混合态(Maximally mixed state)，因为是各种正交基的均匀混合。
为啥Bloch sphere这么受欢迎还有以一个原因，就是它跟实验很能对得上号，跟电子或其它半自旋粒子的自旋很好的对应起来。原话是“The crazy part here is how the three-dimensionality of the Bloch sphere perfectly syncs up with the three-dimensionality of actual physical space”. https://www.scottaaronson.com/
另外，所有的门操作，都可以看成是Bloch sphere上的某个旋转。
https://www.scottaaronson.com/