【蓝桥Python每日一练】————01背包（DFS vs DP）

大家好，我是爱学习的小蓝，欢迎交流指正~ 

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题目

传送门：蓝桥杯算法提高VIP-01背包 - C语言网

给定N个物品,每个物品有一个重量W和一个价值V.你有一个能装M重量的背包.问怎么装使得所装价值最大.每个物品只有一个.

输入

输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示物品的个数和背包能装重量。
以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值

输出

输出1行，包含一个整数，表示最大价值。

样例输入

3 5
2 3
3 5
4 7

样例输出

8

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题解

难度系数：⭐⭐

考察题型：搜索 动态规划

涉及知识点：DFS 背包DP

很多小伙伴会对DFS和DP有疑问，我先逐一回答下。

Q1：DFS和DP两种方法，考场上我到底要用哪一个呢？

其实很简单，看时间复杂度。DFS:Ｏ(2^n）大到爆炸，DP:Ｏ(n^2）小到飞速。

所以优选DP，其次DFS。

Q2：那既然有DP这么好用的工具，为啥我们还要学DFS呢？

因为DP相对DFS比较难想，当动态规划实在没思路，写暴力搜索骗骗分也是极好的~

动态规划-五部曲

 第一步：明白dp[j]的含义

 dp[j]　#j:当前背包的容量 #dp[j]:当前背包的价值

第二步：搞懂递推公式

别看递推公式短短一行，其中包含的信息量巨大！这是最为关键的一步。

此时dp[j]有两个选择，一个是dp[j]，代表之前算好的最大价值。

另一个是dp[j-weight[i]]+value[i]，

代表dp[背包容量-放入当前物品的重量]剩余的价值+放入当前物品的价值。

dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])#递推公式

 第三步：给dp数组初始化赋值

dp=[0]*(m+1) 　　#数组初始化[0,0,0,0,0,0]

第四步：弄清dp[j]遍历的顺序

倒序遍历主要是保证每个物品只被遍历一次。

因为正序遍历物品会被重复添加两次，就违反了每个物品只能用一次的规则。

for i in range(1,n+1):                   #先正序遍历物品(1 |2 |3 )
    for j in range(m,w[i]-1,-1):         #再逆序遍历背包(5 4 3 2 |5 4 3 |5 4)

第五步：打印数组

print(dp[m])    #背包最大价值：8

参考资料：带你学透01背包问题（滚动数组篇） | 从此对背包问题不再迷茫！_哔哩哔哩_bilibili

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代码

DFS版

#01背包
n,m=map(int,input().split())     #n=3件物品 #m=5kg
w=[0]*(n+1)                      #物品重量
v=[0]*(n+1)                      #物品价值
dp=[0]*(m+1)                     #背包容量
maxvalue=0
for i in range(1,n+1):
    w[i],v[i]=map(int,input().split())
'''
 i: 0  1  2  3
 w=[0, 2, 3, 4]
 v=[0, 3, 5, 7]
'''
def dfs(i,sumW,sumV):
    global maxvalue,m
    if i==n:                            #遍历到最后一件物品
        if sumW<=m:                     #总重量<=背包容量
            maxvalue=max(maxvalue,sumV) #更新最大价值
        return
                                        #对下一个物品只有两种状态
    dfs(i+1,sumW,sumV)                  #不选下一个物品
    if sumW+w[i]<=m:                    #超出背包上限剪枝
        dfs(i+1,sumW+w[i],sumV+v[i])    #选择下一个物品
dfs(0,0,0)                              #从0开始搜索
print(maxvalue)                         #最大价值是8

DFS会超时在意料之内，骗一两分还是可以滴~想要满分则需要动态规划上场了。

 DP版

#01背包
n,m=map(int,input().split())     #n=3件物品 #m=5kg
w=[0]*(n+1)                      #物品重量
v=[0]*(n+1)                      #物品价值
dp=[0]*(m+1)                     #背包容量
for i in range(1,n+1):
    w[i],v[i]=map(int,input().split())
    '''
    i: 0  1  2  3
    w=[0, 2, 3, 4]
    v=[0, 3, 5, 7]
    '''
for i in range(1,n+1):                   #先正序遍历物品(1 |2 |3 )
    for j in range(m,w[i]-1,-1):         #再逆序遍历背包(5 4 3 2 |5 4 3 |5 4)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]) #递推公式
        '''
       j 0  1  2  3  4  5 
        [0, 0, 0, 0, 0, 3]
        [0, 0, 0, 0, 3, 3]
        [0, 0, 0, 3, 3, 3]
        [0, 0, 3, 3, 3, 3]
        [0, 0, 3, 3, 3, 8]
        [0, 0, 3, 3, 5, 8]
        [0, 0, 3, 5, 5, 8]
        [0, 0, 3, 5, 5, 8]
        [0, 0, 3, 5, 7, 8]
        '''
print(dp[m])#8          

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