【CSAPP笔记】Lecture 4：Float

目录

二进制小数 - Fractional binary numbers

可表示的数字

有限的数字范围

IEEE754规定

规范化数值

Denormalized Values

特殊值

 小浮点的例子：

动态范围（仅正向）

视觉化：浮点编码

IEEE 编码的特殊属性

舍入

浮点加法

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二进制小数 - Fractional binary numbers

❓ 什么是 ?

表示：

① "二进制点" 右边的部分代表2的小数次方。

② 代表有理数：

例子：

观察：

① 通过右移除以2（无符号）

② 通过左移乘以2

③ 形式为  的数据刚好低于 ：

        

        使用符号 

可表示的数字

限制条件一：

只能准确表示  形式的数字，其他有理数有重复的为表示法。

限制条件二：

在  位内只有一个二进制点的设置。

有限的数字范围。

有限的数字范围

二进制小数表示法的范围小于有符号整数表示法。

我们如何表示不同大小的实数？

❓ 用什么方法可以支持多种实数的算术运算呢？

IEEE754规定

IEEE754：根据国际标准IEEE（电器和电子工程协会）754 规定，任意一个二进制浮点数V可以表示成以下形式： 

      ①    表示符号位，当 s = 0，V 为正数；当s = 1， v为负数

      ②   表示有效数字，大于等于1，小于2。

      ③   表示指数位

编码：

① MSB s 是符号位 s

② esp 字段编码为 E（但不等于E）

③ frac 字段编码为M（但不等于M）

单精度：32位

双精度：64位

扩展精度：80位（仅因特尔）

规范化数值

当：   和    时。

指数被编码为一个有偏差的值。   

Exp：exp字段的无符号值

Bias =   ，其中  是指数位数。

用隐含的前导1进行编码：

xxx.xxx ： farc字段的位数

当 frac = 000.0 时的最小值（）

当 frac = 111...1 时最大（）

"免费" 获得额外的 bit

规范编码实例：

Denormalized Values

条件： 

指数值： （而不是 ）

用隐含的前导0进行编码的意义：

 ：bit of frac

案例：

代表零值

表示不同的值，  +0 和 -0

最接近 0.0 的数字

等距

特殊值

条件：

案例：

表示无穷大（）

溢出操作

正向反向都有

例如  

案例：

非数字（NaN）

表示不能确定数字值得情况

例如 

 小浮点的例子：

八位浮点数表示法

首先符号位在最重要的位置上

接下来的四位数是指数，偏差为7

最后三位是 Frac

与IEEE格式的一般形式相同

规范化、非规范化

表示 0、NaN、无穷大

动态范围（仅正向）

值分布

类似IEEE的六位格式

e = 3个指数位

f = 2个分数位

Bias 为 

注意分布式如何向零点聚集的（趋近于0）

类似IEEE的六位格式

e = 3个指数位

f = 2个分数位

Bias 为 3

视觉化：浮点编码

IEEE 编码的特殊属性

FP零 与 整数零 相同

所有 bits = 0

几乎都可以使用无符号整数比较：

① 必须首先比较符号位

② 必须考虑 -0 = 0

③ 有问题的 NaNs —— 将大于任何其他值，比较时应该会产生什么结果？

④ 否则OK —— 变形 vs 统一化    统一化

舍入

对于单精度，我们只有 23位的 frac 部分

如果有数字 x 需要超过 23位的 frac 部分，我们需要找到一个接近 x 的数字 x'

将一个金额数舍入到最接近的整数上，像偶数舍入（round-to-even），也被沉稳给像最近的值摄入（round-to-nearest），是默认的方式。

浮点加法

 假设   

精确值：

修正：

① 如果 ，将  右移，增加 

② 如果 ，将  左移  位，将  递减  位

③ 如果  超出范围，则溢出。

例子：

浮点数：5.5 - 10进制

二进制：101.1  →  1.011 * 2^2  →  (-1) ^0 * 1.011 * 2^2

                                                         s=0   M=1.011  E=2

IEEE 754 规定：

对于32位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着8位是指数E，剩下的23位位有效数字M：

​

对于64位的浮点数，最高位1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位位有效数字M：

​

IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。 前面说过， 1≤M<2 ，也就是说，M可以写成 1.xxxxxx 的形 式，其中xxxxxx表示小数部分。

IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。 比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。 以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

至于指数E，情况就比较复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int） 这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的 取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真 实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。比如，2^10的E 是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

​

然后，指数E从内存中取出还可以再分成三种情况：

E不全为0或不全为1

这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前 加上第一位的1。 比如： 0.5（1/2）的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即将小数点右移1位， 则为1.0*2^(-1)，其阶码为-1+127=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位 00000000000000000000000，则其二进制表示形式为

0 01111110 00000000000000000000000

E全为0

这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值， 有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为 0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

E全为1

这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；

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参考资料：

Computer Systems: A Programmer's Perspective (3rd Edition)