元胞自动机
元胞自动机
元胞自动机定义
元胞自动机（Cellular Automata，CA）是一种用来仿真局部规则和局部联系的方法。典型的元胞自动机是定义在网格上的，每一个点上的网格代表一个元胞与一种有限的状态。变化规则适用于每一个元胞并且同时进行。元胞自动机也是一类模型的总称，或者说是一个方法框架。其特点是时间、空间、状态都离散，每个变量只取有限多个状态，且其状态改变的规则在时间和空间上都是局部的。
元胞自动机分类
元胞自动机的动力学行为归纳为四大类（Wolfram. S.，1986):
- 平稳型:自任何初始状态开始，经过一定时间运行后，元胞空间趋于一个空间平稳的构形，这里空间平稳即指每一个元胞处于固定状态。不随时间变化而变化。
- 周期型：经过一定时间运行后，元胞空间趋于一系列简单的固定结构（Stable Patterns）或周期结构（Perlodical Patterns)。由于这些结构可看作是一种滤波器（Filter），故可应用到图像处理的研究中。
- 混沌型：自任何初始状态开始，经过一定时间运行
后，元胞自动机表现出混沌的非周期行为，所生成的结构的统计特征不再变止，通常表现为分形分维特征。 - 复杂型：出现复杂的局部结构，或者说是局部的混沌，其中有些会不断地传播。
另一角度，元胞自动机可视为动力系统，因而可将初始点、轨道、不动点、周期轨和终极轨等一系列概念用到元胞自动机的研究中
元胞自动机的应用
元胞自动机以计算机建模和仿真的方法，研究类似于生物细胞（cell）的，由大量并行单元个体组成的复杂系统的宏观行为与规律。L-系统、格子气模型、格子气-Boltzmann方法、交通流模型等都是元胞自动机的具体化，有着重要的理论意义和实际应用价值。
1. 生命游戏
生命游戏（Game of Life），或者叫它的全称John Conway’s Game of Life。是英国数学家约翰·康威在1970年代所发明的一种元胞自动机生命游戏
规则
在二维平面上的方格细胞里，每个细胞有两种状态：死或活，而下一回合的状态完全受它周围8个细胞的状态而定。按照以下三条规则进行演化：
-
活细胞周围的细胞数小于2个或多于3个则死亡；
-
活细胞周围有2或3个细胞可以继续存活；
-
死细胞周围恰好有3个细胞则会复活。
2. 交通领域
元胞自动机常常被用来模拟道路上的车辆或移动的行人。
- 经典的NaSch模型，车辆在一维道路上行驶
- 考虑行人流的换道，将CA模型推广到二维
- 基于行人特性的对向行人流，元胞们会自己排队从而避免对向冲突
元胞自动机的基本要素
- 空间：元胞在空间中分布的空间格点，可以是一维、二维或多维。
- 状态集：可以是两种状态，用“生”、“死”，“0”、“1”，“黑”、“白”来表示；也可以是多种状态，如不同的颜色。
- 邻居：存在与某一元胞周围，能影响该元胞在下一时刻的状态。
- 演化规则：根据元胞及其邻居元胞的状态，决定下一时刻该元胞状态的动力学函数，也可以是状态转移方程。
元胞自动机的规则设定
周围有三个邻居的时候就能存活，周围有两个邻居的时候，生命状态不变，其他的时候元胞就死亡呢？
(规则原因）
这是因为生命的存活其实是需要非常严苛的条件的，当周围其他生命过多时，环境舒适度就会下降，元胞自然就会感觉到不适，所以存活率就会降低，而当周围生其他生命数量过少时也不适宜生命的存活，只有当周围其他生命的数量维持在一个区间时，生命才能够生存下
NaSch模型
NaSch模型是对184号模型的推广，1992年Nagle和Schreckenberg提出了著名的NaSch模型，在这一模型中，时间、空间以及速度都被离散化，道路被划分为离散的格子（即元胞），每个元胞都是空的，或者被一辆车占据，每辆车的速度可以取1，2，…，Vmax ，Vmax 为最大速度。在时间步增加的过程中，模型按照如下规则进行演化。
- 加速规则：Vn —> min(Vn+1, Vmax)，直观上的解释是若能加速则速度加一，反应了司机倾向于以尽可能大的速度行驶的特点
- 减速规则：Vn —> min(Vn, Dn)，以确保车辆不会与前车发生碰撞。
- 随机变化：以随机概率p令Vn —> max(Vn-1,0)，该规则用来体现驾驶人的行为差异，这样既可以反映随机加速行为，又可以反映减速过程中的过度反应行为。这一规则也是堵塞自发产生的至关重要因素。
- 位置更新：Xn —> Xn+Vn，车辆按照更新后的速度继续向前移动。
NaSch模型Python的实现
- 老规矩，先调包，并创建一个图像
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import random
//创建图像
fig = plt.figure(figsize=(10,1))
- 设置模型的参数，相当于一个遥控器，哪里不对点哪里~
#模型参数设置
numofcell = 20 # 道路长度
numofcar = 12 # 空间中的车辆数
max_time = 100 # 设置最大时间步
max_speed = 5 # 允许的车辆最大速度
p_slowdown = 0.3 # 随机慢化概率
pause_time = 0.1 # 刷新时间（每一帧持续的时间）
cell_size = 15 # 元胞的大小
- 定义一个函数来构建一维空间，空间的长度就是道路长度，相当于用一系列和X轴或Y轴平行的直线，绘制一排小网格，每个小网格的中心，相当于(i,0)，其中，i=1,2,…,numofcell
#函数：构建一维空间
def Plot_Space():
for i in range(1, numofcell): plt.plot([i-0.5, i-0.5], [-0.5, 0.5], '-k', linewidth = 0.5)
plt.axis([-0.5, numofcell-0.5, -0.5, 0.5])
plt.xticks([]);plt.yticks([])
- 定义一个函数来获取和前车的距离，从而避免两车相撞。在这里采用了周期性边界，即从道路末端驶出的小车会重新回到起点，相当于一个环路。
# 函数：获取和前车的距离
def get_empty_front(link, numofcell, indexofcell):
link2 = link * 2 # 周期性边界
num = 0; i = 1
while (link2[indexofcell + i]) == None:
num += 1; i += 1
return num
- 在道路空间中随机生成numofcar个初始元胞，并赋予随机的初始速度（不大于已经设置好的最大速度）。道路被车辆占有的状态储存在列表link中，若元胞中没有车辆，则link对应的位置为“None”；若元胞中有车，link对应的位置储存车辆的速度。（可以开开脑洞，大胆地尝试不同初始状态噢）
3. 随机生成初始元胞
Plot_Space()
link = [None] * numofcell
num = 0
while num != numofcar:
sj = random.randint(0, numofcell - 1)
if link[sj] == None:
link[sj] = random.randint(0, 5)
num += 1
- 在0~max_time的时间步内，进行NaSch模型的演化。
# NaSch模型
for t in range(0, max_time):
for cell in range(0, numofcell):
if link[cell] != None:
# 加速
link[cell] = min(link[cell] + 1, max_speed)
# 减速
link[cell] = min(link[cell], get_empty_front(link, numofcell, cell))
# 随机慢化
if random.random() <= p_slowdown:
link[cell] = max(link[cell] - 1, 0)
# 位置更新
nlink = [None] * numofcell
for cell in range(0, numofcell):
if link[cell] != None:
new_index = cell + link[cell]
if new_index >= numofcell:
new_index -= numofcell
nlink[new_index] = link[cell]
link = nlink
- 绘制当前时间步车辆位置的图像，注意这里有缩进，说明上一段NaSch模型演化代码中的for循环还没有结束呦~
x1 = []
for i in range(0,len(link)):
if link[i] != None:
x1.append(i)
Plot_Space()
plt.plot(x1, [0] * numofcar, 'sk', markersize=cell_size)
plt.xlabel('timestep:' + str(t))
- 让图片动起来（同样注意缩进），plt.pause()函数让当前的图像维持pause_time长的时间，随后plt.cla()函数将整个图像擦除。下一个时间步，继续绘制图像，保留一段时间，并擦除，再绘制图像……就能源源不断地产生动画啦！
plt.pause(pause_time)
plt.cla()