【NOI P模拟赛】卡牌游戏（基环树）

题面

$1\le n\le 10^5,1\le a_i,b_i\le 2n$ ，方案数对 $998244353$ 取模。

题解

这种看起来很炫打暴力只有指数算法的题，一般图论解决。

我们把所有 $a_i,b_i$ 之间连一条无向边，题意转化成每条边唯一配对一个端点，配对两个端点有不同的代价，问最小的代价以及此时的方案数。

我们对每个极大连通块讨论，如果该连通块边数大于点数，那么一定无解，输出两个 -1 程序结束。

否则，就是树或基环树。

基环树可以讨论环边的配对方向，剩下的枝杈配对方向也就确定了，整个基环树两种方案，暴力计算贡献比较。

树中确定不被配对的那个点的位置，方案就能被唯一确定，一共(树大小)种方案，每种方案的贡献用换根 DP 解决。

时间复杂度 $O(n)$ 。

CODE

建虚点代表一条边，选不同端点的贡献就可以直接变成边权，估计会好打一些。

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 300005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
int xchar() {
	static const int maxn = 1000000;
	static char b[maxn];
	static int pos = 0,len = 0;
	if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);
	if(pos == len) return -1;
	return b[pos ++];
}
//#define getchar xchar
LL read() {
    LL f=1,x=0;int s = getchar(); 
    while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<3) + (x<<1) + (s^48); s = getchar();}
    return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar('0'+(x%10));}
void putnum(LL x) {
    if(!x) {putchar('0');return ;}
    if(x<0) {putchar('-');x = -x;}
    return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

const int MOD = 998244353;
int n,m,s,o,k;
int hd[MAXN],v[MAXN<<2],nx[MAXN<<2],w[MAXN<<2],cne;
void ins(int x,int y,int z) {
	nx[++ cne] = hd[x]; v[cne] = y; hd[x] = cne; w[cne] = z;
}
bool f[MAXN],vs[MAXN];
int q[MAXN],cnq,cn1,cn2,pa,pb;
void dfs0(int x,int ff) {
	vs[x] = 1;
	q[++ cnq] = x;
	if(f[x]) cn2 ++;
	else cn1 ++;
	for(int i = hd[x];i;i = nx[i]) {
		int y = v[i];
		if(y != ff) {
			if(vs[y]) pa = x,pb = y;
			else dfs0(y,x);
		}
	}return ;
}
int ans = 0;
void dfs1(int x) {
	vs[x] = 1;
	for(int i = hd[x];i;i = nx[i]) {
		if(!vs[v[i]]) {
			if(f[x]) ans += w[i];
			dfs1(v[i]);
		}
	}return ;
}
int dp1[MAXN],dp2[MAXN],fe[MAXN];
void dfs(int x,int ff) {
	dp1[x] = dp2[x] = 0;
	for(int i = hd[x];i;i = nx[i]) {
		int y = v[i];
		if(y != ff) {
			fe[y] = w[i];
			dfs(y,x);
			if(f[x]) {
				dp1[x] += dp1[y] + w[i];
			}
			else {
				dp1[x] += dp1[y];
			}
		}
	}return ;
}
void dfs2(int x,int ff) {
	if(ff) {
		if(f[x]) {
			dp2[x] = (dp2[ff] + dp1[ff] - dp1[x]) + fe[x];
		}
		else {
			dp2[x] = dp2[ff];
		}
	}
	for(int i = hd[x];i;i = nx[i]) {
		if(v[i] != ff) {
			dfs2(v[i],x);
		}
	}return ;
}
int main() {
	freopen("card.in","r",stdin);
	freopen("card.out","w",stdout);
	m = read();
	n = m*3;
	for(int i = 1;i <= m;i ++) f[(m<<1)+i] = 1;
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
		s = read();o = read();
		k = (m<<1) + i;
		ins(s,k,0); ins(k,s,0);
		ins(o,k,1); ins(k,o,1);
	}
	int as = 0,as2 = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		if(!vs[i]) {
			cnq = cn1 = cn2 = 0;
			dfs0(i,0);
			if(cn2 > cn1) {
				printf("-1 -1\n");
				return 0;
			}
			if(cn2 == cn1) {
				int cen = (f[pa] ? pa:pb);
				int A = hd[cen],B = nx[A];
				int ct1 = 0,ct2 = 0;
				for(int j = 1;j <= cnq;j ++) vs[q[j]] = 0;
				ans = w[A]; vs[cen] = 1; dfs1(v[A]); ct1 = ans;
				for(int j = 1;j <= cnq;j ++) vs[q[j]] = 0;
				ans = w[B]; vs[cen] = 1; dfs1(v[B]); ct2 = ans;
				as += min(ct1,ct2);
				if(ct1 == ct2) as2 = as2 *2ll % MOD;
			}
			else {
				int rt = 0;
				int mn = 0x3f3f3f3f,ct = 0;
				for(int j = 1;j <= cnq;j ++) {
					if(!f[q[j]]) {
						rt = q[j]; break;
					}
				}
				dfs(rt,0); dfs2(rt,0);
				for(int j = 1;j <= cnq;j ++) {
					if(!f[q[j]]) {
						if(dp1[q[j]] + dp2[q[j]] < mn) {
							mn = dp1[q[j]] + dp2[q[j]];
							ct = 1;
						}
						else if(dp1[q[j]] + dp2[q[j]] == mn) {
							ct ++;
						}
					}
				}
				as += mn; as2 = as2 *1ll* ct % MOD;
			}
		}
	}
	AIput(as,' '); AIput(as2,'\n');
	return 0;
}