动态规划dp算法经典包子凑数java

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题目 包子凑数

动态规划思想

具体代码

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题目 包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有NN种蒸笼，其中第ii种蒸笼恰好能放A_iAi​个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。 

每当有顾客想买XX个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有XX个包子。比如一共有33种蒸笼，分别能放3、43、4和55个包子。当顾客想买1111个包子时，大叔就会选22笼33个的再加11笼55个的（也可能选出11笼33个的再加22笼44个的）。 

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有33种蒸笼，分别能放4、54、5和66个包子。而顾客想买77个包子时，大叔就凑不出来了。 

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100) 

2  
4  
5  

输出

 一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

6  

动态规划思想

在讲动态规划思想前，本题还使用到了经典数论Ax+By=C（x,y>0）问题：若A，B互质，则有无限个C时的方程无解。否则可能有解。推广到a,b,...,n同时成立。可以利用这个思想求是否有无穷个包子数凑不出来。

所以本题中可以类似的用a1,a2,...an表示能放的包子的个数，找到合适的x，y，.......n凑出C。如果方程有解则能凑出，否则不能凑出。至于求最大公约数可以利用辗转相除法求。

然后本题就可以类似背包问题，使用到一个boolean[] dp，下标index表示index个包子是否能够凑出。当dp[i] 即i个包子可以凑出的话，那么j个包子+第i种蒸笼恰好能放Ai个包子：arr[i]也能够凑出来即index=(j+arr[i])个包子也能够凑出来：dp[j + arr[i]] = true;动态规划的思想就体现在这，另外为了节省时间，在录入数据的同时，就可以对dp[]数据进行更新。

具体代码

import java.util.Scanner;

public class _包子凑数 {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		int n = scanner.nextInt();//N种蒸笼
		int yueshu = 0;//最大公约数
		int[] arr = new int[n + 1];//以下N行每行包含一个整数Ai
		boolean[] dp = new boolean[10000];//下标index表示index个包子是否能够凑出
		dp[0] = true;//默认0个包子可以凑出来
		//在录入数据的同时，即可对dp[index]index个包子是否能够凑出来进行更新处理。
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			arr[i] = scanner.nextInt();//录入数据
			/**
			 * 下面if-else语句动态求输入的数据的最大公约数
			 * 求当前第i种蒸笼恰好能放Ai个包子和前一个蒸笼能放的包子个数的最大公约数
			 */
			if (i == 1)
				yueshu = arr[1];
			else
				yueshu = yue(arr[i], yueshu);
			//更新dp[]数组
			for (int j = 0; j < 10000; j++) {
				/**
				 * 如果dp[j]，即j个包子能够凑出来，
				 * 那么j个包子+第i种蒸笼恰好能放Ai个包子：arr[i]也能够凑出来
				 * 即index=(j+arr[i])个包子也能够凑出来。
				 */
				if (dp[j])
					dp[j + arr[i]] = true;//向后递推，动态规划的体现
			}
		}
		//当最大公约数！=1  说明Ai不互质，则有无限个包子数凑不出来
		if (yueshu != 1)
			System.out.println("INF");
		else {
			//否则统计个数
			int sum = 0;
			for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
				if (!dp[i])
					sum++;
			}
			System.out.println(sum);
		}
	}
	/**
	 * 辗转相除法求a，b两个数的最大公约数
	 * @param a
	 * @param b
	 * @return
	 */
	public static int yue(int a, int b) {
		if (b == 0)
			return a;
		else
			return yue(b, a % b);
	}
}