BFV加密方案

BFV加密是主流的基于容错学习问题的全同态加密方案之一，其主要思想是将明文放在密文的高位，通过整除的方式，去除低位的噪声。比如有一个BFV的密文，私钥，则BFV的解密为，其中是一个公开常数，是解密噪声，显然，当噪声足够小的时候，我们可以通过除以t取整获得明文。

公共参数选择

首先，需要一个分圆多项式，其中是的整数次幂。由和一个大整数定义一个多项式环和一个大整数模。明文模为，，明文空间为环。 三个在换上的分布，噪声分布，私钥分布和一个均匀随机分布 。

为了生成辅助密钥，还需要一个整数，。这里的是用于比特分解的模，所谓的比特分解，就是把一个数表示成，也就是进制表示。

私钥生成

在私钥分布中采样，得到，则私钥。一般来说私钥分布和噪声分布是同一个分布，实际中往往选择离散高斯分布。

公钥生成

在均匀随机分布中采样得到得到，然后在噪声分布中采样得到，计算，其中私钥是。则，公钥。

辅助密钥生成

首先在均匀随机分布中采样次，得到，在噪声分布中采样次，得到，计算，其中。则

加密

对于一个明文，首先将其编码到环上，然后再加密。设编码后的明文为。从私钥分布中采样得到，再从噪声分布中采样两次得到和。计算，。则密文。

解密

对于私钥，密文，其解密为。

证明如下：

只要小于，则可以正确解密。

加法

加法是向量的加法，比如有密文和，则。

考虑其解密结构，，显然，解密噪声增加了。

乘法

有密文和，则。然后，通过重线性化和辅助密钥转化为二维的密文。若没有线性化，则其密文的私钥应该是，因为，。

重线性化

设乘法得到的密文为，则其解密为，经过重现性化后，得到。

由于，所以，

为重线性化的噪声。