scau Josephus Problem

找规律

约瑟夫环问题变形。

在这个约瑟夫环问题中，固定每次间隔两人，10个人，杀人顺序为2,4,6,8,10,3,7，1,9，最后剩下5

定义一种运算J^m(n) 表示 m次嵌套 J(  J( J(n) )

好像J^2(10) = J(J(10)) = J(5) = 3

而m和n的最大值是 10^9

这个问题 主要是能快速算出 J（n），不难想到如果能算出J（n），可以暴力地一步一步迭代下去做m次，容容易发现不用做m次，因为J(1) = 1，当n降到1的时候，m再大都没意义了

可以发现这个问题是指数递减的，m<=10^9 是个纸老虎

 

同样地可以打表看看J（n）的值，一看就能看到规律

对于一个范围的n  ，  [  2^k , 2^(k+1)  ）  （左闭右开区间）

可以发现里面的J（n） 依次为  1,3,5,7,9,11 …………2^(k+1) -1 

这样就得到了公式  J(n) = 1+（n - 2^k）*2   要求  2^k <= n < 2^(k+1)

所以我们可以先保存所有的2^k，当然得到n的时候在找2^k也是可以的

 

用上面的公式，不断地算J(n)，算m次即可，过程中如果n=1，那么就可以跳出不用再算了

 

#include <cstdio>

#include <cstring>



typedef long long ll;



ll tk[50+10];



void init_tk()

{

    tk[0]=1;

    for(int i=1; i<=40; i++)

        tk[i] = tk[i-1] * 2;

//    for(int i=0; i<=40; i++)

//        printf("%I64d\n",tk[i]);

}



int search(ll n)

{

    for(int i=0; i<=40; i++)

        if(tk[i] <= n && tk[i+1] > n)

            return i;

    return -1;

}



int main()

{

    init_tk();

    ll n,m;

    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)

    {

        if(!n && !m) break;

        while(n>1 && m)

        {



            int b = search(n);

            ll ans = 1 + (n - tk[b])*2;

            n = ans;

            m--;

        }

        printf("%lld\n",n);

    }

    return 0;

}