数据结构 - 堆

简介

概念

堆是一种比较特殊的数据结构，它用数组实现的二叉树，并且总是满足以下性质：

• 堆总是一棵完全二叉树
• 堆中某个结点总是不大于或不小于其父结点的的值

属性

堆分为两种：根结点最大的堆叫作最大堆或大根堆；根结点最小的堆叫作最小堆或小根堆。

堆属性非常有用，其使得堆常常被当做优先队列使用，因为可以快速地访问到“最重要”的元素。

堆和二叉搜索树的区别

堆并不能取代二叉搜索树，它们之间有相似之处也有一些不同。两者的主要区别如下：

属性	堆	二叉搜索树
结点的顺序	在最小堆中父结点必须比子结点小，在最大堆中父结点必须比子结点大，变化是从上到下	左子结点比父结点小，父结点比右子结点小，变化是从左到右
内存占用	使用数组作为底层存储结构，占用内存空间较小	使用链表作为底层存储结构，占用内存空间较大
平衡	不需要整棵树有序	必须是平衡的，总体上是有序的
搜索	搜索很慢	搜索很快

堆的实现

存储

实现一个堆，首先是涉及到如何存储一个堆。

根据堆总是一棵完全二叉树的性质，以及完全二叉树比较适合用数组来存储的概念，可以知道用数组存储堆是比较好的选择。

从上图可以看到，数组中下标为 i 的结点的左子结点，就是下标为 2i 的结点，右子结点就是下标为 2i + 1 的结点，父结点就是下标为 i/2 的结点。

堆化

往堆中插入或者删除一个元素后，重要的是需要继续满足堆的两个特性，而这个重新满足堆特性的过程称为堆化。

堆化实际上有两种：从下往上、从上往下。

插入元素

插入元素时涉及的是从下往上的堆化方法。

往堆中插入一个元素其实就是往底层数组的末尾添加元素，下面是示例图：

从下往上堆化的过程比较简单，实际上就是将插入的元素与父结点进行比较，出现不符合特性的情况就互换两个结点，一直重复这个过程，直至父子结点之间满足堆的特性。

删除元素

从堆的特性可以看出，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或最小值。

当删除堆顶元素的时候，为保持堆的特性，则会涉及到从上往下的堆化方法。

从上往下堆化不是直接从堆顶元素开始与子结点进行互换，而是先将数组中的最后一个元素移到被删除结点位置（为了满足完全二叉树的特性），然后利用同样的父子结点比对方法。

通常，对于大根堆会比较较大的子结点，对于小根堆会比较较小的子结点，出现不符合特性的情况就互换两个结点，一直重复这个过程，直至父子结点之间满足堆的特性。

这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。

复杂度

一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 $\log_2n$。

堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 $O(\log n)$。

插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 $O(\log n)$。