Manacher算法

Manacher算法

描述： Manacher 算法用于求解字符串中最长回文子串的问题。

在了解该算法之前需要明白一些基本概念：

• 回文串：对于字符串$s$，$s=s_{rev}$，即$s$等于$s$的逆序，则$s$是一个回文串
• 回文串分为奇回文串以及偶回文串

解法：直观的暴力做法时间复杂度为$O(n^3)$，即枚举所有的子串，对这些子串判断是否回文。

稍加思考便会发现，对于一个回文串，他一定有一个对称中心点，这个点的左右两边是相同的，如果按照对称中心来依次枚举，那么复杂度为变为$O(n^2)$

算法思想

Manacher算法实际上就是对枚举对称中心这一做法的优化。

字符个数的奇偶性不同，对称中心也是不同的，例如对于奇回文串$aba$，对称中心点为$b$，对于偶回文串$abba$，对称中心点则为$bb$中间，为了统一对称点，一般的做法是，将原字符串$s$的首尾以及相邻的两个字符中间插入一个不会出现的字符（例如：#）这样会统一成一个奇回文串，新字符串长度 = 原串 * 2 + 1

例如原串：$abba$

新字符串：$\ast a\ast b\ast b\ast a\ast$

---

考虑维护一个数组：$L$

其中$L[i]$表示以$i$为对称中心的最长回文串的最右边的字符到$s[i]$的长度（即回文半径）

对于原串：$aabab$，添加一个字符变为$\ast a\ast a\ast b\ast a\ast b\ast$，他的$L$数组如下：

*	a	*	a	*	b	*	a	*	b	*
1	2	3	2	1	4	1	4	1	2	1

$L$数组的作用：$L[i]-1$可以表示该子串在原串中对应的回文串的长度，例如上面图片中$b$的$L$值为4，那么原串$aabab$中，以$b$为对称中心的回文串长度为$4-1=3$

因此，只需要找到所有的$L$数组就可以求出最长回文串了。

---

求$L$数组

假定要求位置$i$的$L$数组，($i$之前的已经求出)，我们考虑维护两个值$k$, $r$。其中$r$表示，$i$之前所有位置求出来的右端点的最大值（即$L$数组的最大值），$k$表示$r$最大时的位置。

那么可以分为以下情况讨论

1、$i<r$时

如上图所示，其中红色和橙色部分是相同的，找到$i$关于$k$的对称位置，即$j$（其中$j=2\ast k-i$ ），由于$k$是对称中心位置，那么判断一下$L[j]$与$r-i$的大小关系

• $l[j]<r-i$如下图所示：

  绿色部分必定相同，因此$l[i]=l[j]$

• $l[j]>r-i$

  此时，$l[i]>=r-i$的，超出的部分，需要暴力更新。

2、$i>r$时

没有可以使用的信息，直接暴力更新即可。

注意：记得更新$k,r$的值。

一些技巧：可以在字符串首尾放置两个"哨兵"，它们和其他字符串均不同，这样暴力更新时不用考虑边界问题

//其中s[0]='@',s[n]='%',中间插入的字符为'#'

int ans = 0, k = 0, r = 0;
    l[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (i < r) l[i] = min (r - i, l[(k << 1) - i]);
        else l[i] = 1;

        while (s[i - l[i]] == s[i + l[i]]) l[i] ++; // 暴力更新超过r的部分
        if (i + l[i] > r) k = i, r = i + l[i]; // 更新k,r
        ans = max (ans, l[i] - 1); // 找到最长回文子串
    }
    cout << ans << endl;

---

例题

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P3805

给出一个只由小写英文字符 $\text{a},\text{b},\text{c},\dots \text{y},\text{z}$ 组成的字符串 S ,求 S 中最长回文串的长度 。

字符串长度为 n。

输入格式

一行小写英文字符 $\text{a},\text{b},\text{c},\cdots ,\text{y},\text{z}$ 组成的字符串 S。

输出格式

一个整数表示答案。

输入样例

aaa

输出样例

3

说明/提示

$1\le n\le 1.1\times 10^7$。

参考程序

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 2e7 + 2e6;

string t, s;
int n, m;
int l[N];


int main () {
    cin >> t;
    m = t.length();
    n = (m << 1) + 1;
    s.resize(n + 1);
    s[0] = '@', s[n] = '%', s[1] = '#';
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        s[i << 1] = t[i - 1];
        s[i << 1 | 1] = '#';
    }

    int ans = 0, k = 0, r = 0;
    l[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (i < r) l[i] = min (r - i, l[(k << 1) - i]);
        else l[i] = 1;

        while (s[i - l[i]] == s[i + l[i]]) l[i] ++;
        if (i + l[i] > r) k = i, r = i + l[i];
        ans = max (ans, l[i] - 1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}