数字信号处理_巴特沃斯低通滤波器实验

实验目的

1. 熟悉双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法
2. 掌握数字滤波器的计算机仿真方法
3. 通过观察对实际心电图信号的滤波作用，获得数字滤波的感性知识

试验内容

1. 用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通IIR数字滤波器。设计指标参数为：在通带内频率低于$0.2\pi$时，最大衰减小于1dB；在阻带内$[0.3\pi ,\pi ]$频率区间上，最小衰减大于15dB。
2. 以0.02π为抽样间隔，打印出数字滤波器在频率区间$[0,\frac{\pi }{2}]$上的幅频响应特性曲线。
3. 用所设计的滤波器对实际心电图信号抽样序列进行仿真滤波处理，并分别打印出滤波前后的心电图信号波形图，观察总结滤波作用与效果。

要求

• 由所打印的$|H(e^{j\omega })|$特性曲线及设计过程简述双线性变换法的特点。
• 对比滤波前后的心电图信号波形，说明数字滤波器的滤波过程与滤波作用。

附：心电图信号抽样序列x(n)
人体心电图信号在测量过程中往往受到工业高频干扰，所以必须经过低通滤波处理后，才能作为判断心脏功能的有用信息。下面给出一实际心电图信号抽样序列样本x(n)，其中存在高频干扰。在实验中，以x(n)作为输入序列，滤除其中的干扰成分。

x(n)={-4，  -2，   0，  -4，  -6，  -4， -2， -4， -6，  -6，
      -4，  -4，  -6，  -6，  -2，   6， 12，  8，  0， -16，
      -38，-60， -84， -90， -66， -32， -4， -2， -4，   8，
       12，  12，  10，   6，   6，   6，  4，  0，  0，   0，
       0，    0，  -2，  -4，   0，   0，  0， -2， -2，   0，
       0，   -2，  -2，  -2，  -2，   0}

MATLAB实现

原理

• 双线性变换法

从$s$域映射到正切$tan$，再从$tan$映射到$z$域
$$\begin{gathered} s=\frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \\ j\Omega =\frac{2}{T}jtan\frac{\omega }{2}(s=j\Omega ) \\ z=\frac{1+sT/2}{1-sT/2}(s=\delta +j\Omega ) \end{gathered}$$

• 数字滤波工作原理

$$\begin{gathered} x_0(t)\to H_1(s)\to x(t)\to 抽样/量化\to \\ x(n)\to H(z)\to y(n)\to y_s(t)\to \\ {H}_2(s)\to y(t) \end{gathered}$$

代码实现

x=[-4 -2 0 -4 -6 -4 -2 -4 -6 -6 -4 -4 -6 -6 -2 6 12 8 0 -16 -38 -60 -84 -90 -66 -32 -4 -2 -4 8 12 12 10 6 6 6 4 0 0 0 0 0 -2 4 0 0 0 -2 -2 0 0 -2 -2 -2 -2 0];
n=length(x);
xk=fft(x);
plot(0:n-1,abs(xk));
title('频域信号');

• 双线性变换—Butterworth IIR

%数字滤波器指标
wp = 0.2*pi;ws = 0.3*pi;rp = 1;rs = 15;Fs = 1;
%转换成模拟域
wp1=2*Fs*tan(wp/2);
ws1=2*Fs*tan(ws/2);
[N,Wn] = buttord(wp1,ws1,rp,rs,'s');
[Z,P,K] = buttap(N);
[Bap,Aap] = zp2tf(Z,P,K);
[b,a] = lp2lp(Bap,Aap,Wn);
[bz,az] = bilinear(b,a,Fs);
[H,W] = freqz(bz,az);
disp(bz);
disp(az);
plot(W*Fs/pi,abs(H));
grid on;
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅度');
title('数字滤波器的频率响应');

clear;
% 读取原始数据，这里是 n * 1 的数据
Signal = [-4 -2 0 -4 -6 -4 -2 -4 -6 -6 -4 -4 -6 -6 -2 6 12 8 0 -16 -38 -60 -84 -90 -66 -32 -4 -2 -4 8 12 12 10 6 6 6 4 0 0 0 0 0 -2 4 0 0 0 -2 -2 0 0 -2 -2 -2 -2 0];
%指标
wp = 0.2*pi;ws = 0.3*pi;rp = 1;rs = 15;Fs = 1;
%计算
wp1=2*Fs*tan(wp/2);
ws1=2*Fs*tan(ws/2);
[N,Wn] = buttord(wp1,ws1,rp,rs,'s');
[Z,P,K] = buttap(N);
[Bap,Aap] = zp2tf(Z,P,K);
[b,a] = lp2lp(Bap,Aap,Wn);
[bz,az] = bilinear(b,a,Fs);
% 滤波
Signal_Filter = filter(bz, az, Signal); 
subplot(2, 1, 1);
plot(Signal);
title('原始图像');
subplot(2,1,2);
plot(Signal_Filter);
title('巴特沃斯低通滤波后图像');