信号处理 - 快速傅里叶变换(FFT) - python代码讲解

注：该文适合在jupyter notebook编辑器上演示

FFT介绍

FT、DFT、FFT的关系：
傅里叶变换(FT)是针对连续信号的，不适用于离散信号。而实际测得的信号（如振动、电流等）都是不连续即离散的，这个时候离散傅里叶变换（DFT）出现了，用来针对离散信号的做傅里叶变换。但是DFT从数学上计算是可行的，但给计算机计算，比较复杂，因此J.W.库利和T.W.图基提出了快速傅里叶变换 (FFT), 其目的是利用计算机来高效、快速计算离散傅里叶变换。

适用范围

周期性信号，平稳信号(简单可理解其频率不随时间变化)

通过python代码来理解FFT

先产生一段正弦信号 y=sin(2πf*t) ，这里信号频率f=2

import numpy as np # 导入numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入matplotlib.pyplot包
t = np.linspace(start=0, stop=10, num=100)  # 采样频率fs=100÷10=10
y = 4*np.sin(2*np.pi*t*2) # y=sin(2*π*f*t) # 这里f=2
plt.plot(t, y)  # 绘制图形
plt.xlabel('t(s)')
plt.ylabel('f(Hz)')
plt.title('y=sin(2*π*2*t)')

输出结果

这里有两个问题：
第一，纵坐标的-1,-2，-3和-4的负号未能显示完全，这是因为python不能显示负号和中文。
第二，这个正弦信号不光滑，比较尖锐，这是因为采样频率为10，分辨率比较低。

改进后的时域信号

import numpy as np # 导入numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入matplotlib.pyplot包
import matplotlib
t = np.linspace(start=0, stop=10, num=1000)  # 采样频率fs=1000÷10=10
y = 4*np.sin(2*np.pi*t*2) # y=sin(2*π*f*t) # 这里f=2
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False  #用来正常显示正负号
plt.plot(t, y)  # 绘制图形
plt.xlabel('t(s)') 
plt.ylabel('f(Hz)')
plt.title('y=sin(2*π*2*t)')

输出结果

现在采样频率为100，生成的信号和正弦信号很像了
现在就开始对这个离散信号做FFT变换，看看效果

####----进行fft---####
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False  #用来正常显示正负号
t = np.linspace(start=0, stop=10, num=1000)  # 采样频率fs=1000÷10=10
y = 4*np.sin(2*np.pi*t*2) # y=sin(2*π*f*t) # 这里f=2
# 画时域图
ax1 = plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, y)  
plt.xlabel('t(s)') 
plt.ylabel('f(Hz)')
plt.title('y=sin(2*π*2*t) 时域图')

# 画fft图
fs = 100   # 采样频率
xf = np.fft.fft(y)   # 对离散数据y做fft变换得到变换之后的数据xf
xfp = np.fft.fftfreq(len(y), d=1 / fs)  # fftfreq(length，fs)，计算得到频率
xf = abs(xf) # 将复数求模，得到fft的幅值
ax1 = plt.subplot(1, 2, 2) 
plt.plot(xfp, xf) # 画fft图像，横坐标为频率，纵坐标为幅值
plt.xlabel('f(Hz)') 
plt.ylabel('Amp')
plt.title('y=sin(2*π*2*t)p fft图')

输出结果

从fft图中可以看出这两个重要的现象
第一，频率存在负数，且其图像关于0Hz对称。在-2Hz和2Hz的地方存在很大的幅值
第二，频率是从-50Hz到50Hz(这个也是很重要的一点，fft得到的频率是采样频率的一半)

我们现在观察一下xf和xfp的值

print(xf)  #这是幅值

array([1.91846539e-13, 2.00035896e-01, 4.03098512e-01, 6.12369070e-01,
       8.31354662e-01, 1.06409657e+00, 1.31544309e+00, 1.59142838e+00,
       1.89982442e+00, 2.25098029e+00, 2.65915286e+00, 3.14471294e+00,
       3.73799357e+00, 4.48641986e+00, 5.46873781e+00, 6.82624293e+00,
       8.84061181e+00, 1.21663574e+01, 1.87537300e+01, 3.82003257e+01,
       1.99767920e+03, 4.18093223e+01, 2.11642707e+01, 1.43606392e+01,
       1.09658841e+01, 8.92699589e+00, 7.56418128e+00, 6.58718456e+00,
       5.85121855e+00, 5.27597074e+00, 4.81330295e+00, 4.43260128e+00,
       4.11346328e+00, 3.84176526e+00, 3.60741741e+00, 3.40301801e+00,
       ...
       1.99767920e+03, 3.82003257e+01, 1.87537300e+01, 1.21663574e+01,
       8.84061181e+00, 6.82624293e+00, 5.46873781e+00, 4.48641986e+00,
       3.73799357e+00, 3.14471294e+00, 2.65915286e+00, 2.25098029e+00,
       1.89982442e+00, 1.59142838e+00, 1.31544309e+00, 1.06409657e+00,
       8.31354662e-01, 6.12369070e-01, 4.03098512e-01, 2.00035896e-01])

print(xfp) #这是频率值

array([  0. ,   0.1,   0.2,   0.3,   0.4,   0.5,   0.6,   0.7,   0.8,
         0.9,   1. ,   1.1,   1.2,   1.3,   1.4,   1.5,   1.6,   1.7,
         1.8,   1.9,   2. ,   2.1,   2.2,   2.3,   2.4,   2.5,   2.6,
         2.7,   2.8,   2.9,   3. ,   3.1,   3.2,   3.3,   3.4,   3.5,
         3.6,   3.7,   3.8,   3.9,   4. ,   4.1,   4.2,   4.3,   4.4,
         4.5,   4.6,   4.7,   4.8,   4.9,   5. ,   5.1,   5.2,   5.3,
		...
		47.7,  47.8,  47.9,  48. ,  48.1,  48.2,  48.3,  48.4,  48.5,
        48.6,  48.7,  48.8,  48.9,  49. ,  49.1,  49.2,  49.3,  49.4,
        49.5,  49.6,  49.7,  49.8,  49.9, -50. , -49.9, -49.8, -49.7,
       -49.6, -49.5, -49.4, -49.3, -49.2, -49.1, -49. , -48.9, -48.8,
       -48.7, -48.6, -48.5, -48.4, -48.3, -48.2, -48.1, -48. , -47.9,
       -47.8, -47.7, -47.6, -47.5, -47.4, -47.3, -47.2, -47.1, -47. ,
       -46.9, -46.8, -46.7, -46.6, -46.5, -46.4, -46.3, -46.2, -46.1,
       ...
		-3.7,  -3.6,  -3.5,  -3.4,  -3.3,  -3.2,  -3.1,  -3. ,  -2.9,
        -2.8,  -2.7,  -2.6,  -2.5,  -2.4,  -2.3,  -2.2,  -2.1,  -2. ,
        -1.9,  -1.8,  -1.7,  -1.6,  -1.5,  -1.4,  -1.3,  -1.2,  -1.1,
        -1. ,  -0.9,  -0.8,  -0.7,  -0.6,  -0.5,  -0.4,  -0.3,  -0.2,
        -0.1])

从其频率值xfp可以看出来，其变化是0Hz->50Hz->-50Hz->0Hz

那我们只要0-50Hz的频率该怎么做，有两种办法
方法1
通过plt.xlim(x1, x2) #x1, x2是要展示出来的坐标值

ax1 = plt.subplot(1, 2, 2) 
plt.plot(xfp, xf) # 画fft图像
plt.xlabel('f(Hz)') 
plt.ylabel('Amp')
plt.title('y=sin(2*π*2*t)p fft图')
plt.xlim(0, int(fs/2))  #展示频率在（0，int(fs/2)）范围内的图像

输出结果

方法2
只取正频率，即取前半个长度的点数

xf = np.fft.fft(y)   # 对离散数据y做fft变换得到变换之后的数据xf
xf = abs(xf) # 将复数求模
xf = xf[0:int(len(xf)/2)]  #取xf前半个长度
xfp = np.fft.fftfreq(len(y), d=1 / fs)  # fftfreq(length，fs)，计算得到频率
xfp = xfp[0:int(len(xfp)/2)]  #取xfp前半个长度
ax1 = plt.subplot(1, 2, 2) 
plt.plot(xfp, xf) # 画fft图像
plt.xlabel('f(Hz)') 
plt.ylabel('Amp')
plt.title('y=sin(2*π*2*t)p fft图')

输出结果

采样定理

还记得第一张图，采样频率为10Hz时，其形状比较尖锐，那做fft是否也能分析出信号频率呢？
答案是可以的。采样定理是这样说的：采样频率需至少为所关心频率的2倍时，才能保留所关心信号的信息。采样10Hz是信号频率2Hz的5倍，大于2倍，所以是可以分析出来的

现在对采样频率为10Hz在的信号进行fft分析

####----进行fft---####
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False  #用来正常显示正负号
t = np.linspace(start=0, stop=10, num=100)  # 采样频率fs=1000÷10=10
y = 4*np.sin(2*np.pi*t*2) # y=sin(2*π*f*t) # 这里f=2
# 画时域图
ax1 = plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, y)  
plt.xlabel('t(s)') 
plt.ylabel('f(Hz)')
plt.title('y=sin(2*π*2*t) 时域图')

# 画fft图
fs = 10   # 采样频率
xf = np.fft.fft(y)   # 对离散数据y做fft变换得到变换之后的数据xf
xfp = np.fft.fftfreq(len(y), d=1 / fs)  # fftfreq(length，fs)，计算得到频率
xf = abs(xf) # 将复数求模
ax1 = plt.subplot(1, 2, 2) 
plt.plot(xfp, xf) # 画fft图像
plt.xlim(0, int(fs/2))
plt.xlabel('f(Hz)') 
plt.ylabel('Amp')
plt.title('y=sin(2*π*2*t)p fft图')

结果

由图可知，当采样频率比较低时，其在频率为2Hz附近也会存在幅值比较低的频率，这种现象叫频谱泄露。

参考资料

信号处理 | 傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换、希尔伯特变换、希尔伯特黄变换
一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系
如何 FFT(快速傅里叶变换) 求幅度、频率（超详细 含推导过程）
DSP基本名词术语及其关系
信号处理若干名词解释(I)
信号处理若干名词解释(II)
什么是泄漏？
什么是混叠
什么是窗函数
plt.subplot()使用方法以及参数介绍
解决Matplotlib绘图中，负号不正常显示问题
欢迎关注我的公众号：故障诊断与python学习
CWRU数据集介绍
论文学习-A Deep Learning Method for Bearing Fault Diagnosis Based on Time-frequency Image
论文？专利？科研？就业？研二学长带着满满干货分享入门知识啦
数据集 | 很全的轴承与齿轮数据集下载网站整理
论文学习｜第2篇-综述：机器学习在机器故障诊断中的应用: 回顾和路线图