数据分析--------统计学-------置信区间例题2

总体有6250人，从中抽样250人，其中142人认为教室安装电脑有必要，108人认为没必要。

（1）计算认为有必要的概率是99%的置信区间。

（2）在保证概率是99%的前提下该如何缩小置信区间

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（1）分析：只有两种情况，一种是有必要，另一种是没必要。是伯努利分布。假设不必要是0，发生概率是1-p。必要是1，发生概率是p。

按照上述公式计算样本均值和样本方差。

样本均值=（0x108+1x142 ）/250=0.568

样本方差（修正后）=（142x（1-0.568）²+108x（0-0.568））/（250-1）=0.246

样本标准差=0.5

样本均值的抽样分布是正态分布。样本均值的均值=总体期望。参考https://blog.csdn.net/cuicui_ruirui/article/details/108287650中的矩估计法。样本均值可以用来估计总体均值，所以总体均值=0.568。因为样本均值的均值等于总体均值，所以样本均值的抽样分布的均值=0.568。

样本均值的抽样分布的方差等于σ²/n。此处σ是总体标准差，总体标准差可以用样本标准差来估计，所以总体标准差=0.5，n是样本容量250，得到样本均值的抽样分布的标准差=0.031。

此处参考https://blog.csdn.net/cuicui_ruirui/article/details/108294598。一个正态总体的期望的区间估计。此处的枢轴变量是样本均值，对样本均值的分布做标准化，成为关于y轴对称的标准正态分布。1-α=99%，α/2=0.5%。图像上α/2左侧的概率是99.5%，在z分数表上找到值为99.5%对应的z分数是2.58即u（α/2）。得到结果是0.568-0.031x2.58<μ<0.568+0.031x2.58，即置信区间是（0.488，0.648）

 

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（2）增大样本容量。

样本容量增大，抽样分布的标准差减小，而置信区间是加减一定倍数的标准差，置信区间就会随之减小