统计学习方法笔记（李航）———第三章（k近邻法）

k 近邻法 (k-NN) 是一种基于实例的学习方法，无法转化为对参数空间的搜索问题（参数最优化 问题）。它的特点是对特征空间进行搜索。除了k近邻法，本章还对以下几个问题进行较深入的讨
论:

• 切比雪夫距离 $L_{\infty }\left(x_i,x_j\right)$ 的计算
• “近似误差” 与“估计误差" 的含义
• k-d树搜索算法图解

一、算法

输入：训练集 $T=\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\dots ,\left(x_N,y_N\right)\right\},x_i\in X\subseteq R^n$ 为实例特征向$y_i\in Y=\left\{c_1,c_2,\dots ,c_K\right\}$ 为实例的类别, $i=1,2,\dots ,N$

输出：实例 $x$ 所属的类 $y$

设在给定距离度量下，涵盖最近k个点的邻域为 $N_K(x)$
$$y=\arg \underset{c_j}{\max }\sum _{x_i\in N_K(x)}I\left(y_i=c_j\right),i=1,2,\dots ,K$$

其中示性函数 $I(x)=\{\begin{array}{l}1,x\text{ 为真 }\\ 0,x\text{ 为假}\end{array}$

寻找使得函数 ${\sum }_{x_i\in N_K(x)}I\left(y_i=c_j\right)$ 取得最大值的变量 $c_j,$ 也就是说, 看看距离 $x_i$ 最近的k个点里面哪一类别最多，以此作为输出。

二、模型

根据模型的分类, k-NN模型属于非概率模型。

观察 $y=\arg {\max }_{c_j}{\sum }_{x_i\in N_K(x)}I\left(y_i=c_j\right)$ 可发现它与感知机不同的之处, 作为决策函数, 它并不需要任何未知参数（感知机需要确定W和b），直接从训练集的数据得到输出。

1. 距离度量

k-NN的基本思想是，特征空间中的距离反映了两个点的相似程度, 因此 “距离" 是作出分类判断 的基本依据。向量空间 $R^n$ 的距离有多种度量方式：

(1) 不同距离度量

一般形式是闵可夫斯基距离（ $L_p$ 范数）：

$L_p\left(x_i,x_j\right)={\left({\sum }_{l=1}^n{\left|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\right|}^p\right)}^{1/p}$

当p=1时, 称为曼哈顿距离（ $L_1$ 范数）：

$L_1\left(x_i,x_j\right)={\sum }_{l=1}^n\left|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\right|$

当p=2时，称为欧几里得距离（ $L_2$ 范数），也就是最常用的距离：:

$L_2\left(x_i,x_j\right)={\left({\sum }_{l=1}^n{\left|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\right|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$

import math
from itertools import combinations

def L(x, y, p=2):
    # x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
    if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
        sum = 0
        for i in range(len(x)):
            sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)
        return math.pow(sum, 1 / p)
    else:
        return 0

下图表示平面上A、B两点之间不同的距离：

• $L_1$ 只允许沿着坐标轴方向前进, 就像曼哈顿街区的出租车走过的距离
• $L_2$ 两点之间直线最短, 通过勾股定理计算斜边的距离
• $L_{\infty }$只剩下一个维度, 即最大的分量方向上的距离

可见p取值越大，两点之间的距离越短。

(2) 问题：为什么切比雪夫距离 $L_{\infty }\left(x_i,x_j\right)={\max }_l\left|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\right|?$

其实这个问题等价于：为什么 $\Vert x{\Vert }_{\infty }=\max \left|x^{(l)}\right|,$ 即 $R^n$ 空间中的向量 $x,$ 它的切比雪 夫长度等于它的最大分量方向上的长度。

证明: 设 $x={\left(x^{(1)},x^{(2)},\dots x^{(n)}\right)}^T\in X\subseteq R^n$

不妨设 $\left|x^{(1)}\right|=\max \left\{\left|x^{(1)}\right|,\left|x^{(2)},\dots ,\right|x^{(n)}||\right\},$ 即 $\left|x^{(l)}\right|\le \left|x^{(1)}\right|$

注意：最大分量的长度唯一, 但最大分量可能并不唯 一,$设有 $x^{(1)},x^{(2)},\dots x^{(k)}$ 等K个分量的 长度都等于 $\left|x^{(1)}\right|$

当 $\left|x^{(l)}\right|=\left|x^{(1)}\right|,{\lim }_{p\to \infty }{\left(\frac{|x^{(l)}|}{|x^{(1)}|}\right)}^p=1,$ 即 $x^{(l)}$ 为 $x^{(1)},x^{(2)},\dots x^{(k)}$ 时

当 $\left|x^{(l)}\right|<\left|x^{(1)}\right|,{\lim }_{p\to \infty }{\left(\frac{|x^{(l)}|}{|x^{(1)}|}\right)}^p=0,$ 即 $x^{(l)}$ 为非最大长度分量时

计算 $x$ 的切比雪夫长度:

$\Vert x{\Vert }_{\infty }={\lim }_{p\to \infty }{\left({\sum }_{l=1}^n{\left|x^{(l)}\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}={\lim }_{p\to \infty }{\left({\left|x^{(1)}\right|}^p{\sum }_{l=1}^n\frac{{|x^{(l)}|}^p}{{|x^{(1)}|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}$

由于已知 ${\lim }_{p\to \infty }{\left(\frac{|x^{(l)}|}{|x^{(1)}|}\right)}^p$ 等于0或1，且有k个分量结果为1, 所以

${\lim }_{p\to \infty }{\sum }_{l=1}^n{\left(\frac{|x^{(l)}|}{|x^{(1)}|}\right)}^p=(1+1+\dots +1+0+0+\dots .0)=k$

因此
$$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{p\to \infty }{\lim }{\left({\left|x^{(1)}\right|}^p\sum _{l=1}^n\frac{{\left|x^{(l)}\right|}^p}{{\left|x^{(1)}\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}=\underset{p\to \infty }{\lim }{\left({\left|x^{(1)}\right|}^{p}k\right)}^{\frac{1}{p}}=\underset{p\to \infty }{\lim }\left|x^{(1)}\right|k^{\frac{1}{p}}=\left|x^{(1)}\right|$$
即 $\Vert x{\Vert }_{\infty }=\max \left|x^{(l)}\right|,$ 得证。

以上证明参考

(3) 平面上的圆

$L_p=1$ 在平面上的图像:

如果圆形的定义是 “到某一点距离相等的曲线围成的图形" ，那么在不同的距离度量下，圆形的形 状可以完全不同。为何 $L_1$ 正则化在平面上的等高线为同心正方形, 不就很容易理解吗?

2. k值选择

李航老师书中引入了“近似误差”和“估计误差”两个概念，但没有给出具体定义。

这里简单总结一下：
$$I\left[{\hat{f}}_{H,l}\right]-I\left[f_0\right]=\left(I\left[{\hat{f}}_{H,l}\right]-I\left[f_H\right]\right)+\left(I\left[f_H\right]-I\left[f_0\right]\right)$$
右侧两项分别是 “估计误差” 和 “近似误差”

• 估计误差：训练集与无限数据集得到的模型的差距
• 近似误差：限制假设空间与无限制假设空间得到的模型的差距
  • k值越小 $\iff$ 单个样本影响越大 $\iff$ 模型越复杂 $\iff$ 假设空间越大 $\Rightarrow$ 近似误差越小 (估计误差 越大），容易过拟合;
  • k值越大 $\iff$ 单个样本影响越小 $\iff$ 模型越简单 $\iff$ 假设空间越小 $\Rightarrow$ 近似误差越大（估计误差 越小），容易欠拟合。

一般通过交叉验证来确定最优的 k 值。

3. 决策规则

k 近邻的决策规则就是 “多数表决" ，即少数服从多数, 用数学表达式表示为

$$\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I\left(y_i\ne c_j\right)=1-\frac{1}{k}\sum _{x_i\in N_k(x)}I\left(y_i=c_j\right)$$

等号左侧为误分类率，要是误分类率最小，就要使得 ${\sum }_{x_i\in N_k(x)}I\left(y_i=c_j\right)$ 最大, 即选择集合 $N_k(x)$ 中最多的一类。

三、kd树

参见本篇文章：（一定看）
kd树介绍（KNN算法引出）

四、习题

3.1

参照图3.1，在二维空间中给出实例点，画出kk为1和2时的kk近邻法构成的空间划分，并对其进行比较，体会kk值选择与模型复杂度及预测准确率的关系。

%matplotlib inline
import numpy as np
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap 

data = np.array([[5, 12, 1],
                [6, 21, 0],
                [14, 5, 0],
                [16, 10, 0],
                [13, 19, 0],
                [13, 32, 1],
                [17, 27, 1],
                [18, 24, 1],
                [20, 20, 0],
                [23, 14, 1],
                [23, 25, 1],
                [23, 31, 1],
                [26, 8, 0],
                [30, 17, 1],
                [30, 26, 1],
                [34, 8, 0],
                [34, 19, 1],
                [37, 28, 1]])
X_train = data[:, 0:2]
y_train = data[:, 2]

models = (KNeighborsClassifier(n_neighbors=1, n_jobs=-1),
          KNeighborsClassifier(n_neighbors=2, n_jobs=-1))
models = (clf.fit(X_train, y_train) for clf in models)

titles = ('K Neighbors with k=1',
          'K Neighbors with k=2')

fig = plt.figure(figsize=(15, 5))
plt.subplots_adjust(wspace=0.4, hspace=0.4)

X0, X1 = X_train[:, 0], X_train[:, 1]

x_min, x_max = X0.min() - 1, X0.max() + 1
y_min, y_max = X1.min() - 1, X1.max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.2),
                         np.arange(y_min, y_max, 0.2))

for clf, title, ax in zip(models, titles, fig.subplots(1, 2).flatten()):    
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape) 
    colors = ('red', 'green', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')  
    cmap = ListedColormap(colors[:len(np.unique(Z))])  
    ax.contourf(xx, yy, Z, cmap=cmap, alpha=0.5)

    ax.scatter(X0, X1, c=y_train, s=50, edgecolors='k', cmap=cmap, alpha=0.5)
    ax.set_title(title)

plt.show()

3.2
利用例题3.2构造的kd树求点x $=(3,4.5{)}^{\mathrm{T}}$ 的最近邻点。

import numpy as np
from sklearn.neighbors import KDTree

train_data = np.array([(2, 3), (5, 4), (9, 6), (4, 7), (8, 1), (7, 2)])
tree = KDTree(train_data, leaf_size=2)
dist, ind = tree.query(np.array([(3, 4.5)]), k=1)
x1 = train_data[ind[0]][0][0]
x2 = train_data[ind[0]][0][1]

print("x点的最近邻点是({0}, {1})".format(x1, x2))
#x点的最近邻点是(2, 3)

3.3
解答：
算法：用kd树的kk近邻搜索
输入：已构造的kd树；目标点xx；
输出：xx的最近邻

1. 在kdkd树中找出包含目标点xx的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问树。若目标点xx当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子结点，否则移动到右子结点，直到子结点为叶结点为止；
2. 如果“当前kk近邻点集”元素数量小于kk或者叶节点距离小于“当前kk近邻点集”中最远点距离，那么将叶节点插入“当前k近邻点集”；
3. 递归地向上回退，在每个结点进行以下操作：
   (a)如果“当前kk近邻点集”元素数量小于kk或者当前节点距离小于“当前kk近邻点集”中最远点距离，那么将该节点插入“当前kk近邻点集”。
   (b)检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与于“当前kk近邻点集”中最远点间的距离为半径的超球体相交。如果相交，可能在另一个子结点对应的区域内存在距目标点更近的点，移动到另一个子结点，接着，递归地进行最近邻搜索；如果不相交，向上回退；
4. 当回退到根结点时，搜索结束，最后的“当前kk近邻点集”即为xx的最近邻点。

# 构建kd树，搜索待预测点所属区域
from collections import namedtuple
import numpy as np


# 建立节点类
class Node(namedtuple("Node", "location left_child right_child")):
    def __repr__(self):
        return str(tuple(self))


# kd tree类
class KdTree():
    def __init__(self, k=1):
        self.k = k
        self.kdtree = None

    # 构建kd tree
    def _fit(self, X, depth=0):
        try:
            k = self.k
        except IndexError as e:
            return None
        # 这里可以展开，通过方差选择axis
        axis = depth % k
        X = X[X[:, axis].argsort()]
        median = X.shape[0] // 2
        try:
            X[median]
        except IndexError:
            return None
        return Node(
            location=X[median],
            left_child=self._fit(X[:median], depth + 1),
            right_child=self._fit(X[median + 1:], depth + 1)
        )

    def _search(self, point, tree=None, depth=0, best=None):
        if tree is None:
            return best
        k = self.k
        # 更新 branch
        if point[0][depth % k] < tree.location[depth % k]:
            next_branch = tree.left_child
        else:
            next_branch = tree.right_child
        if not next_branch is None:
            best = next_branch.location
        return self._search(point, tree=next_branch, depth=depth + 1, best=best)

    def fit(self, X):
        self.kdtree = self._fit(X)
        return self.kdtree

    def predict(self, X):
        res = self._search(X, self.kdtree)
        return res 

KNN = KdTree()
X_train = np.array([[2, 3],
                    [5, 4],
                    [9, 6],
                    [4, 7],
                    [8, 1],
                    [7, 2]])
KNN.fit(X_train)
X_new = np.array([[3, 4.5]])
res = KNN.predict(X_new)

x1 = res[0]
x2 = res[1]

print("x点的最近邻点是({0}, {1})".format(x1, x2))
#x点的最近邻点是(2, 3)

参考自：统计学习方法习题解答