LeetCode 386. 字典序排数

给你一个整数 n ，按字典序返回范围 [1, n] 内所有整数。你必须设计一个时间复杂度为 O(n) 且使用 O(1) 额外空间的算法。相关标签：深度优先搜索，字典树；提示：1 <= n <= 5 * 10^4 。

Tire树（又称单词查找树）简介：是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高，缺点是空间复杂度比较大。优化：我们可以用链表来动态开辟空间，达到空间上利用率的最大化。

Tire树的性质：根结点不包含字符，其他的每一个节点只包含一个字符；从根结点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串（假如某个节点为一个字符串的结尾，对其打个标记即可）。每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

请注意在这题我们用一个trie树来表示所有的数，如果当前数是在1−n范围内的，就插入到答案中。因为表示了所有数，所以没必要模拟一个trie数并且插入。所以我们只需要模拟一个在trie上树搜索即可。时间复杂度O(N)。tire树还不懂的自己随便在网上找张tire树的图看看就理解了。

这题的话就是给我们n个数，让我们把n个数按照字典序排一下，注意不是按数的大小来排而是按字典序的大小来排。力扣这题原本的数据范围很大有5,000,000（五百万）然而现在只剩下50,000（五万）了。

字典序的含义比较简单，这里就不放长概念了粗略的说明一下。比如说88和123，按照数字大小来比较的话88肯定是小于123的，但是按照字典序的话88就大于123，因为是比较每一位的字符大小，简单粗暴的理解就是这个意思，想知道更多的话就自己去百度吧。

接下来我们讨论解题方法，首先最暴力的做法就是把1～n个数先转化为string看成字符串，然后你对string排序就可以了。那么这么做的时间复杂度是多少呢？首先每一个数的长度是log n是吧，然后快排的时间复杂度是nlog n，所以总共的时间复杂度就是一乘就是nlog n^2，这是暴力做法。然后比较优秀的做法是可以用tire来做，注意此tire非彼tire，tire啥意思呢。

tire的意思我们上文已经讲过了，一般字符串排序用tire排序的话时间复杂度能少一个log n，tire其实就类似于桶排序。那么这个tire是怎么样的一个思路呢，就是这样我们先将所有数看成一个字符串。比如123、124还有12都是一个字符串，然后我们把他们插到这个树里面，然后我们可以想象一下将1～n插入到这个串里面，而不是我们在程序设计中真的插入这些数。

想象完把上面数插入到这个串里面，然后插完之后怎么去按照字典序从小到大输出呢？这个其实就是一个树的遍历，如果我们想找到tire里面所有数的话，其实就是一个树的遍历，那么为了能够从小到大的去输出所有数，就比如我们有几个分支是吧，为了保证我们的字典序最小，那么我们再搜的时候第一个数应该是越小越好是吧，所以我们在搜的时候要从小到大搜索每一个分支，那这样只要你按照我们这个思路来搜的话，那么你搜到的结果一定是按照字典序的结果。

因为我们会先搜1再搜2再搜3是吧，那么以1开头的子树肯定会比右边的树都要小，因为它第一个已经小了是吧。所以说我们只要按照字典序去搜这棵树，我们就可以把所有数按照字典序搜出来。好吧，那么这个就是tire树的一个大概的思路，那么这个思路的话首先遍历整个树的时间复杂度是n logn是吧，因为整棵树里面的结点的个数就是n log n是吧，然后我们找出来所有数的时间复杂度也是nlog n，所以整个整个算法时间复杂度就是nlog n，比我们之前的暴力做法要小一个log n。注意我们在写的时候不需要真的把我们所有的数插入到我们这个tire树里面。它插入到时候很有规律是1～n连续插入，所以我们就不需要插入了。然后我们在搜的时候我们假设每个分支都有，只不过我们去判断一下如果当前这个分支的数大于n了，那么这个后面的数也一定大于n是吧，就直接停止就可以了就不用继续往下搜了，所以这题我们是不需要真正的插入的，我们只需要在查询的时候限定一下范围就可以了。

然后是代码怎么写：

class Solution {
public:
    vector res;

    vector lexicalOrder(int n) {    
        for(int i=1;i<=9;i++) dfs(i,n);
        return res;
    }

    void dfs(int cur,int n) {
        if(cur <= n) res.push_back(cur);
        else return;
        for(int i=0;i<=9;i++) dfs(cur*10+i,n);
    }
};