【混合预编码文献总结】探索大佬的混合预编码研究历程之路1：信道奇异向量和阵列响应向量的关系

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写在前面

本专栏的目的：总结混合预编码研究领域中的一个大佬团队（Robert W. Heath Jr，Ayach Omar El，Alkhateeb Ahmed等人）从2012年至今所发表的一些具有代表性的文章，目的在于探索大佬们一步步走上这个领域的顶端的科研历程，也作为自己学习研究过程的记录，同时与各位同学一起学习、探讨。

前言

当天线数目趋于无穷大，信道的奇异向量和阵列响应向量有怎样的关系？

背景

1、传统通信系统中，每个天线配有专用的射频链，这使得系统能够根据不同的准则对信号的幅度和相位进行灵活调整，但在Massive MIMO 通信系统中，由于大规模天线部署，若配备相同数量的射频链则会产生大量的能耗。

为了解决这一问题，本文之前的研究工作提出过antenna seletion和equal gain transmission，但这些方法都不是针对大规模天线场景，具体来说，他们都是在具有丰富散射的瑞利信道下进行的算法设计，而Massive MIMO 毫米波信道的重要特征之一就是稀疏散射，即dominant path的数量是有限的。

2、在传统MIMO预编码的设计和性能分析时，通常假设在具有丰富衰落的瑞利衰落信道下（scattering levels are too rich），但毫米波信道的高路损使信道稀疏散射特性。

因此本文采用稀疏散射信道模型（基于extended S-V 的有限散射信道）

一、本文贡献

1、理论推导得出结论：当天线数目趋于无穷大时，传统的beam steering方案用于毫米波通信中，性能和无约束的基于SVD的precoder和combiner性能相同。
2、最优的beam steering只有角度参数需要被反馈给BS，因此无需复杂的码本设计，极大的降低反馈开销。

二、系统模型

“单用户多天线多流”系统模型

基站端$N_t$根天线配备$N_{RF}^t$个射频链发送$N_s$个数据流，用户端$N_r$根天线配备$N_{RF}^r$个射频链接收$N_s$个数据流。

用户端经过处理后的信号模型

基于簇的稀疏散射信道

其中，$L$为cluster数量，每个cluster中只有一个ray，${\alpha }_l$表示第$l$个路径的复增益，服从$(0,1)$正态分布，${\mathbf{\alpha }}_t$和${\mathbf{\alpha }}_r$表示发送天线阵列响应向量和接收天线阵列响应向量，${\varphi }_l^r$和${\varphi }_l^t$表示水平方向（方位角）的到达角和发射角，${\theta }_l^r$和 ${\theta }_l^t$表示垂直方向（俯仰角）的到达角和发射角。

注意：本文中考虑基站和用户端均为全向天线，因此${\alpha }_l$独立于上述四个角度，若考虑指向性天线，则${\alpha }_l$~ $\mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\Lambda }^r({\varphi }_l^r,{\theta }_l^r){\Lambda }^t({\varphi }_l^t,{\theta }_l^t))$，其中$,\Lambda ()$表示阵元指向性增益。

本文假设BS和UE都部署均匀面阵UPA，天线阵列响应向量可表示为

其中W为y轴方向的阵元数目，H为z轴方向的阵元数目，因此总的天线阵元数目$N=WH$。

三、推论与证明

问题模型

由于单用户单流场景，因此速率最大化等价于等效SNR最大化

其中$\mathcal{W}$和$\mathcal{F}$是符合恒模约束的BF向量可选集，由于模拟域调相是通过移相器完成的，因此信号幅度恒定，只改变相位。

无约束最优precoder和combiner

对信道进行奇异值分解

得到酉阵$\mathbf{U}\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_r}$和$\mathbf{V}\in {\mathbb{C}}^{N_t\times N_t}$，以及由奇异值组成$\mathbf{\Sigma }\in {\mathbb{C}}^{N_r\times N_t}$，最优combiner ${\mathbf{w}}^{opt}={\mathbf{U}}^{(1)}$，最优precoder ${\mathbf{f}}^{opt}={\mathbf{V}}^{(1)}$。

Steering Vector Beamforming and Combining

可通过以下数学推导，证明当天线趋于无穷大，BS和UE端的steering vector指向最大路径增益对应的方向时，性能渐近最优，即与无约束最优波束赋形向量性能无限接近，对ULA和UPA皆成立。

推论 1 （对于ULA的阵列响应正交性）

对于ULA天线模型，当天线阵元数量N趋近于无穷且信道路径数远小于N时，发送阵列响应和接收阵列响应中的向量都是正交的，即阵列响应中的某一列与其他列张成的子空间正交。

Proof of Lemma 1（只要证明阵列响应中的某一列与其他列投影为0即可）

证明过程如下：

由于响应向量维度为$N\times 1$且$\sin ({\varphi }_l)-\sin ({\varphi }_k)\ne 0$，因此第二行可以看作是一个等比数列的前N项求和，由几何级数求和公式可以得到(a)；当N趋于无穷大，L-1远小于N，因此L-1项之和趋于0，证毕。
因为阵列响应中的某一列与其他列投影为0，可得到结论：阵列响应中的某一列与其他列张成的子空间正交。

推论 2（对于UPA的阵列响应正交性）

Proof of Corollary 2

由于式(5)表示的UPA响应可以分解为两个ULA响应的Kronecker积（实际上在仿真中就是这么生成UPA响应的），即

因此类似proof of lemma 1证明即可，如下所示

其中第二个等式成立是因为$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC\otimes BD)$，剩余证明过程与proof 1相同。

基于Lemma 1和 Corollary 2 ， 我们可以得到 Theorem 3 来将阵列响应向量与信道矩阵的奇异向量联系起来

推论 3 （阵列响应向量与信道矩阵的奇异向量的关系）

信道矩阵的每一个右奇异向量在弦距离（可理解为两个向量的距离）上收敛于一个路径对应的发送天线阵列响应向量，每一个左奇异向量类似地收敛于一个接收天线阵列响应向量，对应的奇异值收敛于$\frac{N_t{N}_r}{L}|{\alpha }_l{|}^2$

Proof

信道模型（3）可写成矩阵形式

其中



为了将式（8）和信道矩阵的SVD建立联系，我们对式（8）进行两个操作
a）将矩阵D的相位提取出来并与发送阵列响应相乘
b）将式（8）扩展，引入信道的零空间
因此式（8）可进一步写成

其中$\tilde{D}=$
可以看到式（9）与H的SVD分解形式相同。因此Theorem 3 说明了当N趋于无穷时，稀疏散射信道的矩阵形式“收敛于”信道矩阵的SVD分解形式。据此可以得到推论4
推论 4

推论4 （当N趋于无穷时，对于单用户单流场景最优的beamforming 和combing 向量是最大路径

因此UE只需要将角度信息反馈给BS即可，这相比传统MIMO需要反馈量化的（奇异）向量来说，反馈开销大大降低。
并且，事实上UE本身并不需要估计完成的高维信道矩阵H，在信道阶段只需要估计主导的路径角度即可！

推论5 （在单用户多流场景下，$F_{RF}$选择最大的前$N_s$个路径增益对应的阵列响应向量，$F_{BB}$只需要进行功率分配即可）

Proof （与Theorem 3 的证明过程相同，即信道表示形式和SVD分解的等价）

四、仿真结果

未完待续。。。。

五、关于本文的思考

1、这篇论文是Omar El Ayach, Robert W. Heath等人关于混合预编码的早期研究，所提出的推论验证了Massive MIMO的优势，并进行了严格的数学证明。本文作者所在的团队也从此开启了混合预编码的研究（挖坑、填坑）之路，是一篇非常具有代表意义的文章。

2、天线数趋于无穷大的假设是在Massive MIMO 研究初期很多理论工作的一个重要假设（2010年Mazzeta提出），基于这种假设，可以揭示出Mssive MIMO 相对于MIMO的诸多优势。 但随着Massive MIMO理论工作的完善， 学术界也应该更多的考虑在天线数为64、128这些更practical的情况下的混合预编码算法设计。

参考文献

The capacity optimality of beam steering in large millimeter wave MIMO systems.