与 Rust 勾心斗角

由于已经为网格模型（多面体）实现了计算包围球的方法，基于网格的包围球构造天球，使用经纬坐标，便可将相机定位于天球球面上的任意一点，亦即将三维空间里的相机定位问题转化为二维球面定位问题，从而将问题的难度降低一个数量级。在解决该问题之前，需要先热 POV Ray 场景语言的身。

天球

天球是网格模型的外接球的放大。假设网格模型外接球的中心为 bs_center，半径为 bs_r，放大倍数为 n，参考文献 [1]，可用 POV Ray 场景语言可将天球表示为

// 天球
sphere {
  bs_center, bs_r * n
  texture {pigment {color rgbt <0, 0, 1, 0.75>}}
  hollow
}

例如四面体

mesh2 {
  vertex_vectors {
    4,
    <0, 0, 0>, <1, 0, 0>, <0, 1, 0>, <0, 0, -1>
  }
  face_indices {
    4,
    <0, 1, 2>, <0, 1, 3>, <1, 2, 3>, <0, 2, 3>
  }
  texture {pigment {color Red}}
}

其包围球中心为 <0.25, 0.25, -0.25>，半径约为 0.829，若放大倍数为 3，则天球可表示为

#declare bs_center = <0.25, 0.25, -0.25>;
#declare bs_r = 0.829;
#declare n = 3;
#declare ss_r = bs_r * n;
sphere {
  bs_center, ss_r
  texture {pigment {color rgbt <0, 0, 1, 0.75>}}
  hollow
}

在场景中绘制天球，仅仅是便于直观呈现网格模型的观察空间。但是现在还不太好方便观察天球以及网格，因为相机和光源的定位问题尚未得到妥善解决。

坐标系

为了能在直觉上把握网格模型、相机和光源的相对位置，需要构建世界坐标系。文 [1] 给出了使用 POV Ray 场景语言绘制三维坐标系的方法，在此直接应用：

// 用于绘制任意轴向的宏
#macro MakeAxis(Origin, Direction, Length, Thickness, Color)
  #local ArrowLength = 0.125 * Length;
  #local Direction = vnormalize(Direction);
  #local Begin = Origin;
  #local End = Begin + (Length - ArrowLength) * Direction;
  #local ArrowBegin = End;
  #local ArrowEnd = ArrowBegin + ArrowLength * Direction;
  object {
    union {
      cylinder {
        Begin, End
        Thickness
        texture { pigment { color Color } }
      }
      cone {
        ArrowBegin, 2 * Thickness
        ArrowEnd, 0
        texture { pigment { color Color } }
      }
    }
  }
#end
// 绘制世界坐标系
object {
  union {
    #local Origin = <0, 0, 0>;
    sphere {
      Origin, 0.025 * ss_r
      texture { pigment { color Gray20 } }
    }
    #local Length = 0.5 * ss_r;
    #local Thickness = 0.0125 * ss_r;
    MakeAxis(Origin, x, Length, Thickness, Red)
    MakeAxis(Origin, y, Length, Thickness, Green)
    MakeAxis(Origin, z, Length, Thickness, Blue)
  }
}

随便找个位置观看

先较为随意地将相机安放在能在头脑中直接想出来的一个位置，只要保证这个位置距离四面体足够远即可，例如

camera {
  location <5, 5, 5>
  look_at <0, 0, 0>
}

相机的视点（拍摄位置）look_at 是世界坐标系原点。

光源也可以随意安放，只要保证四面体是在它的笼罩下即可，例如

light_source {
  <1, 3, 10>
  color White
}

现在看到的景象是

现在将相机向四面体拉近一些，并将光源设成无影：

// 相机
camera {
  location 0.5 * <5, 5, 5>
  look_at bs_center
}

// 光源
light_source {
  <1, 3, 10>
  color White
  shadowless
}

看到的景象变为

日出东南隅

现在假设 <0, 0, -1> 为正南方向，<1, 0, 0> 为正东方向。将相机放在正南方位，视点为原点，光源放在东南方位的上空：

// 相机
camera {
  location 4 * <0, 0, -1>
  look_at <0, 0, 0>
}

// 光源
light_source {
  10 * <1, 1, 1>
  color White
  shadowless
}

相机拍摄的正北图像如下图所示：

此时，只能看到 x 轴（红轴）和 y 轴（绿轴），看不到 z 轴，因为 z 轴垂直指向屏幕内部。将相机所在的这个位置定义为经度为 0 度, 维度为 0 度。相对于相机的位置，则光源所在的位置，经度为东经 45 度，维度为北纬 45 度。

若用 U 和 V 分别表示经纬度，则相机的位置可表示为

camera {
  // n 是调整相机与视点（拍摄位置）之间距离远近的系数
  location n * vorate(vrotate(<0, 0, -1>, -U * y), V * x);
  look_at <0, 0, 0>
}

例如，倘若将相机放在西经 20 度，北纬 30 度的位置，只需

#declare U = -20; // 负数表示西经，正数表示东经
#declare V = 30;  // 负数表示南维，负数表示北纬
camera {
  location 5 * vrotate(vrotate(-z, -U * y), V * x)
  look_at <0, 0, 0>
}

注意，在 POV Ray 场景语言里，<0, 0, -1> 可写为 -z，即 -<0, 0, 1>。vrotate(v, a * b) 是 POV Ray 场景语言内定的宏，用于将向量 v 绕向量 b 按左手定则转动角度 a。

同理，光源也可以采用经纬度的方式设定，例如位于东经 45 度和北纬 45 度上空的光源，可定义为

light_source {
  10 * vrotate(vrotate(-z, -45 * y), 45 * x)
  color White
  shadowless
}

现在相机拍到的画面如下图所示。

建立光源和相机的关系

相机和光源可以存在一个固定的关系。在 POV Ray 场景里，相机本质上是如下图所示的局部坐标系

将相机的 up 轴平移，令其过原点，然后将相机的位置绕 up 轴按左手定则转 -45 度，所得位置可作为光源位置。

相机的 up 轴如何得到呢？由于相机一开始是在 -z 处，此时它的 up 轴与 y 轴平行，且方向相同。只需将 y 轴按经纬度旋转，便可将其变换为相机所在经纬度的 up 轴，亦即

#declare up_dir = vrotate(vrotate(y, V * x), -U * y);

将相机位置绕 up_dir 方向按左手定则转 -45 度

#declare sky_xyz = 5 * vrotate(vrotate(-z, -U * y), V * x);
#declare sun_xyz = vrotate(sky_xyz, -45 * up_dir);

上述过程构造的相机位置和光源位置之间的关系，犹如我们右手举着手电筒观察暗处的物品。

但是，上述过程构造的 up_dir 只是无数个方向中的一个。在日常中我们使用相机，倘若是正着拍照，上述的 up_dir 是合适的，但是倘若歪相机拍——类似于歪着头看东西，可以让 up_dir 绕视点到 sky_xyz 的方向构成的轴向一个角度来实现，例如向右侧歪斜 15 度角：

#declare U = -20; // 负数表示西经，正数表示东经
#declare V = 30;  // 负数表示南纬，正数表示北纬
#declare up_dir = vrotate(vrotate(y, V * x), -U * y);
#declare sky_xyz = 5 * vrotate(vrotate(-z, V * x), -U * y);
#declare sun_xyz = vrotate(sky_xyz, -45 * up_dir);

camera {
  location sky_xyz
  sky vrotate(up_dir, 15 * vnormalize(sky_xyz))
  look_at <0, 0, 0>
}

上述代码中，sky 用于设定相机的 up 方向，拍到的景象如下图所示：

平移变换

上述内容讨论的相机设定，为了简单起见，将视点设为世界坐标系的原点，并围绕该点设定相机和光源。实际上，若想让网格模型出现在画面中心区域，应当将视点视为网格模型包围球的中心 bs_center。为此，需将上述设定的相机和光源位置进行平移变换：

// 相机和光源
#declare U = -20; // 负数表示西经，正数表示东经
#declare V = 30;  // 负数表示南纬，正数表示北纬
#declare up_dir = vrotate(vrotate(y, V * x), -U * y);
#declare sky_xyz = 5 * vrotate(vrotate(-z, V * x), -U * y);
#declare oblique_dir = vrotate(up_dir, 15 * vnormalize(sky_xyz));
#declare sun_xyz = vrotate(sky_xyz, -45 * oblique_dir);
#declare sky_xyz = sky_xyz - bs_center;
#declare sun_xyz = sun_xyz - bs_center;

camera {
  location sky_xyz
  sky oblique_dir
  look_at bs_center
}

light_source {
  sun_xyz
  color White
  shadowless
}

拍到的景象如下图所示，与上一节相比，仅仅是视图的中心有所变化。

拍摄系统

经过上述一番「推导」，便可构造一个用于拍摄网格模型的系统了。该系统只需要三个参数：网格模型包围球的放大倍数、相机的经纬度以及相机 up 轴向的偏转角度。

作业

用 Rust 实现上述的拍摄系统……或者等我写出 rskynet。

参考

[1] https://segmentfault.com/a/11...

[2] https://segmentfault.com/a/11...

附录

foo.inc：

#declare foo = mesh2 {
  vertex_vectors {
    4,
    <0, 0, -0>,
    <1, 0, -0>,
    <0, 1, -0>,
    <0, 0, -1>
  }
  face_indices {
    4,
    <0, 1, 2>,
    <0, 1, 3>,
    <1, 2, 3>,
    <0, 2, 3>
  }
}

foo.pov：

#version 3.7;
#include "colors.inc"
global_settings {
  assumed_gamma 1.0
}

#macro MakeAxis(Origin, Direction, Length, Thickness, Color)
  #local ArrowLength = 0.125 * Length;
  #local Direction = vnormalize(Direction);
  #local Begin = Origin;
  #local End = Begin + (Length - ArrowLength) * Direction;
  #local ArrowBegin = End;
  #local ArrowEnd = ArrowBegin + ArrowLength * Direction;
  object {
    union {
      cylinder {
        Begin, End
        Thickness
        texture { pigment { color Color } }
      }
      cone {
        ArrowBegin, 2 * Thickness
        ArrowEnd, 0
        texture { pigment { color Color } }
      }
    }
  }
#end

// 四面体
#include "foo.inc"
object {
  foo
  texture {pigment {color Red}}
}

// 天球
#declare bs_center = <0.25, 0.25, -0.25>;
#declare bs_r = 0.829;
#declare sky_n = 3;
#declare sky_r = bs_r * sky_n;
sphere {
  bs_center,3 *  sky_r
  texture {pigment {color rgbt <0, 0, 1, 0.75>}}
  hollow
}

object {
  union {
    #local Origin = <0, 0, 0>;
    sphere {
      Origin, 0.025 * sky_r
      texture { pigment { color Gray20 } }
    }
    #local Length = 0.75 * sky_r;
    #local Thickness = 0.0125 * sky_r;
    MakeAxis(Origin, x, Length, Thickness, Red)
    MakeAxis(Origin, y, Length, Thickness, Green)
    MakeAxis(Origin, z, Length, Thickness, Blue)
  }
}

// 相机和光源
#declare U = -20; // 负数表示西经，正数表示东经
#declare V = 30;  // 负数表示南纬，正数表示北纬
#declare up_dir = vrotate(vrotate(y, V * x), -U * y);
#declare sky_xyz = 5 * vrotate(vrotate(-z, V * x), -U * y);
#declare oblique_dir = vrotate(up_dir, -15 * vnormalize(sky_xyz));
#declare sun_xyz = vrotate(sky_xyz, -45 * oblique_dir);
#declare sky_xyz = sky_xyz - bs_center;
#declare sun_xyz = sun_xyz - bs_center;

camera {
  location sky_xyz
  sky oblique_dir
  look_at bs_center
}

light_source {
  sun_xyz
  color White
  shadowless
}

与 Rust 勾心斗角 · 作业

天球

坐标系

随便找个位置观看

日出东南隅

建立光源和相机的关系

平移变换

拍摄系统

作业

参考

附录

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