MATLAB解方程

MATLAB解方程篇分为解方程基础篇，常微分方程(ODE)篇，偏微分方程(PDE)篇。此篇为解方程基础篇，在本文中，我们首先介绍解方程的基础知识，然后将使用MATLAB解初高中所学习的多元多次方程及方程组。

符号计算与数值计算的概念

首先需要理清的概念是符号计算与数值计算，符号计算是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果的运算手段。

那么这两者有什么区别？

>> 2*pi	% 数值计算
ans = 6.2832
>> sym(2*pi)	% 符号计算
ans = 2*pi

通过实例我们可以体会到二者差异，数值计算是取了近似解(数值解)，通过对pi取近似值的方法将结果计算出来；而符号计算则将pi当做一个变量，得到了一个绝对准确但有些滑稽的结果。

那么符号计算就是这样的，建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确的计算方法。

而数值计算则是采用某种计算手段，如有限元的方法、数值逼近、插值的方法等而得到的解。通过数值计算得到的解并不完全准确，但数值计算运算速度快而且可以处理没有函数没有解析解的情况。

符号计算

符号计算又称计算机代数，它可以使用计算机推导数学公式，如对表达式进行因式分解、化简、微分、积分、解代数方程、求解常微分方程等。

为了进行上面所说的因式分解等符号计算，我们必须要首先定义符号。

构建符号变量

符号常量是不含变量的符号表达式，用sym函数来创建；符号变量使用sym和syms函数来创建

进行符号运算之前必须首先定义符号对象，符号对象的数据类型为sym类型。

sym构造符号变量和对象。S=sym(s, 参数)S为所创建的符号对象，参数表示转换后的格式，可以省略，当被转换的s是数值时，参数可以是’d’, ‘f’, ‘e’或’r’ 4种格式，当被转换的’s’是字符串时，参数可以是’integer’, ‘rational’, ‘real’, ‘positive’, 'clear’等格式。

syms s1 s2 ... sn 等同于 s1=sym(‘s1’), s2=sym(‘s2’)…

在计算物理中，我们更多的使用符号变量。例如使用符号变量构建方程(符号表达式)。使用符号变量，我们可以做到求解代数方程。

clc; clear all
syms a b c x y
f = a*x^2+b*x+c;	% 构建方程
solve(f)		% solve为求解方程的函数，其中默认自变量为x
% output: ans = [-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a), -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)]
solve(f,a)	% 求解方程时可以自定义自变量
% output: ans = -(c + b*x)/x^2

符号表达式的变换

MATLAB的符号数学工具箱提供了collect、expand、horner、factor、simplify和simple等函数实现符号表达式的化简。

计算反函数

函数f(x)存在一个反函数，g(f(x))=x，则g和f互为反函数，MATLAB中finverse函数可以用来求符号函数的反函数

g=finverse(f,v)	% 对f(v)按指定自变量v求反函数，当v省略，则对默认的自由符号变量求反函数

% 求符号函数 f=5*sin(x)+y 的反函数
>> syms x y
>> f=5*sin(x)+y
>> g=finverse(f) 	% 对默认自由变量求反函数
g = -asin(1/5*y-1/5*x)
>> g1=finverse(f,'y')
g1 = -5*sin(x)+y

计算复合函数

MATLAB提供了compose函数可以求出f(x)和g(y)的复合函数f(g(y))

compose(f,g,x,y,z)	% 计算f和g的复合函数，xyz都省略时计算出复合函数为f(g(y))
% xy省略则计算出f(g(z))，都不省略则以x为自由变量计算出f(g(z))并用z代替y

多项式符号表达式

多项式函数如果是包含分子和分母，则可以使用numden函数来进行通分计算，并可以提取分子和分母多项式符号表达式。

[N,D]=numden(s)	% 提取多项式符号表达式s的分子和分母，N和D是通分过后的分子和分母多项式符号表达式

>> f1=sym(1/(x-1)+1/(x+1)+3);
>> [N1,D1]=numden(f1)
N1 = 2*x+3*x^2-2
D1 = x^2-2

符号微积分、极限和级数

微积分–微分使用diff函数，积分使用int函数实现

diff(f,t,n)		%计算f对符号变量t的n阶微分

%计算符号表达式f=sin(ax)+y^2*cos(x)的微分
>> syms a x y
>> f=sin(a*x)+y^2*cos(x);
>> dfdx=diff(f)	%对默认自由变量x求一阶微分
dfdx = cos(a*x)*a-y^2*sin(x)
>> dfdy=diff(f,y)	%对符号变量
dfdy = 2*y*cos(x)
>> dfdy2=diff(f,y,2)	%对符号变量y求二阶微分
dfdy2 = 2*cos(x)

%计算符号矩阵的一阶微分
>> f=sym([sqrt(1+x^2) t^x;exp(x) x+y]);
>> dfdx=diff(f)
dfdx = 
[ x/(x^2 + 1)^(1/2), t^x*log(t)]
[            exp(x),          1]

%diff函数还可以用来计算数组各行的差值
>> a=[1 2 3;1 0 1];
>> diff(a)
ans = 0 -2 -2

积分–例：$f={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^a{r}^2{\sin }^2\phi drd\phi$

int(f,t,a,b)	%计算符号变量t的积分

%根据微分表达式f计算原函数
>> syms a r phi
>> g=r^2*(sin(phi))^2;
>> f=int(int(g,r,0,a),phi,0,2*pi)
f = (pi*a^3)/3

极限

limt(f)表达式$li{m}_{x\to 0}f(x)$，limt(f,a)表达式$li{m}_{x\to a}f(x)$，limt(f,t,a)表达式$li{m}_{t\to a}f(x)$，limt(f,x,a,left)表达式$li{m}_{x\to a^{-}}f(x)$。

>> syms t
>> f1=exp(-t)*sin(t);
>> ess=limit(f1,t,inf)	%计算趋向于无穷大的规模
ess = 0
>> f2=1/t;
>> limitf2 = limit(f2)
limitf2=NaN
>> limitf2_l = limit(f2,'t','0','left')
limitf2_l = -Inf
>> limitf2_r = limit(f2,'t','0','right')
limitf2_r = Inf

级数求和

symsum(s,x,a,b)	%计算表达式s当x从a到b的级数和

>> syms x k n
>> f1=x^k;
>> limitf1=symsum(f1,k,0,inf)	%计算无穷级数
limitf1 = -1/(x-1)
>> f2=1/k;
>> sumf2=symsum(f2,k,1,10)	%计算前10项级数
sumf2 = 7381/2520

Taylor级数 (泰勒级数)

如果函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内具有从一阶到$n+1$阶的导数，则在该邻域内函数$f(x)$在点$x=x_0$时，趋向无穷的幂级数为
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\dots$$
这个级数称为泰勒级数，MATLAB中使用Taylor函数来计算。

taylor(f,x,x0,'Order',n)	%求泰勒级数以符号变量x在x0点展开n项

%使用taylor函数对符号表达式cos(x)和e^{-t}*sin(t)进行Taylor级数展开
>> syms x
>> f1=cos(x);
>> taylorf1=taylor(f1,x,1,'Order',3)	%计算x=1级数展开前3项
taylorf1 = cos(1) - sin(1)*(x-1) - (cos(1)*(x-1)^2)/2
>> f2=exp(-x)*sin(x); 
>> taylorf2=taylor(f2)
taylorf2 = -x^5/30 + x^3/3 - x^2 + x	%计算级数展开到x^5

解方程

clc;clear
syms a b c x y	% 字符型数据--定义
% 解方程
f=x^2-x-2;
solve(f) % 或solve(f,x)，只有一个变量时变量可以不表示
% 解参数方程
f=a*x^2+b*x+c;
solve(f,x)
% 解一元等式
solve(x^3-2*x^2 == x-1 [,x]) %x  

解方程组

% 解方程组
f=x^2-y;
g=y-x-2;
[a,b]=solve(f,g)
% 解参数方程组
f=a*x^2+y^2;g=x-y-1;
[sx,sy]=solve(f,g,x,y)

符号对象的运算

符号工具箱有三种不同类型的算术运算方式，包括数值型、有理数型和VPA型。

1)数值型 数值型运算是MATLAB的浮点运算，运算速度快但结果不准确，例如2/3就是一般的浮点运算。

2)有理数型 有理数型的运算是精确符号运算，计算时间和占用内存都最大，其结果是非常精确的，例如sym(2/3)是有理数的算术运算。

3)VPA型 VPA型的算术运算是任意精度运算

%% 符号对象的转换
digits(n)	%设定n位有效位数的精度，默认为32位
S=vpa(s,n)	%将s按n为有效数字计算得出符号对象S
n=double(s)	%将符号对象s转换为双精度数值对象n
%转为为数值型用double，转换为VPA型用vpa，数值型转换为有理数型用sym

>> digits	%显示默认精度
Digits = 32
>> q=sym(sqrt(2))
q = 2^(1/2)
>> q=vpa(q)	%按默认精度计算并显示
1.4142135623730950488016887242097
>> digits(15)
>> p=vpa(pi)
3.14159265358979
>> x=vpa(q*p,10)
4.442882938
>> n1=double(x)
4.4429

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