金融学习之十一——久期

久期是指债券投资者收到债券所有现金流需要等待的平均时间，久期可以分为麦考利久期、修正久期和美元久期。麦考利久期是指收回收回债券投资现金流的加权平均时间，而为了反映债券价格对利率的变化，就出现了修正久期和美元久期，久期一般可以用于衡量债券价格对利率的敏感程度。
（一）麦考利久期
债券价格B与连续复利的到期收益率y之间的关系可以表示为：
B=$\sum _{k=1}^n{c}_i{e}^{-y{t}_i}$ （1）
即债券价格等于所有未来将要支付的现金流现值之和。
麦考利久期D可以表达为：
D=$\sum _{k=1}^n{c}_i{e}^{-y{t}_i}\ast t_i$/B=$\sum _{k=1}^n{t}_i\ast (c_i{e}^{-y{t}_i}/B)$ （2）
其中$(c_i{e}^{-y{t}_i}/B）$是$t_i$时刻债券支付的现金流现值与债券价格的比率，也是时间$t_i$的权重。
例如：某债券剩余期限为4年，面值为100元，票面利率为2.95%，票息支付每年2次，到期收益率为3.8%（连续复利）。求该债券的麦考利久期。

#定义一个求麦考利久期的函数
def maikaoli(c,y,t):
    import numpy as np
    cashflow=[]
    weight=[]
    n=len(t)
    for i in np.arange(n):
        cashflow.append(c[i]*np.exp(-y*t[i]))
    for i in np.arange(n):
        weight.append(cashflow[i]/sum(cashflow))
    maikaoli=np.sum(t*weight)
    return maikaoli
#输入相关参数并计算
#c为票面利率 p为面值 by为到期收益率
c=0.0295
p=100
by=0.038
t=np.arange(1,9)/2
cashflow=np.ones_like(t)*c*0.5*p
cashflow[-1]=p*(1+c*0.5)
D=maikaoli(cashflow,by,t)
print(round(D,4))

结果为3.7983，也可以利用前面介绍过的债券
针对式（2），若到期收益率y存在微小变化，则可以有
$\Delta$B=dB/dy $\Delta y$ =-BD$\Delta y$
再次变化为：
$\Delta$ B/B=-D$\Delta y$

（二）修正久期
麦考利久期有一个很重要的前提是债券的到期收益率y是连续复利。
若改为到期收益率y是每年复利1次，久期关系式就变为：
$\Delta$ B/B=-D$\Delta y$/（1+y）
若是每年复利每次，则变为：
$\Delta$ B/B=-D$\Delta y$/（1+y/m）
令D*=D/（1+y/m）则（2）式变为：
$\Delta$B=-BD*$\Delta y$，这里的D*就是修正久期。

沿用上例，设每年复利2次的债券到期收益率增加10个基点，计算该债券的修正久期。
复利m次与连续复利的收益率转换可以表示为：
Rc=m*ln（1+Rm/m)

import numpy as np
def maikaoli(c,y,m,t):
    cashflow=[]
    weight=[]
    n=len(t)
    Rc=m*np.log(1+y/m)
    for i in np.arange(n):
        cashflow.append(c[i]*np.exp(-Rc*t[i]))
    for i in np.arange(n):
        weight.append(cashflow[i]/sum(cashflow))
    maikaoli=np.sum(t*weight)
    return maikaoli/(1+y/m)
#c为票面利率 p为面值 by为到期收益率
c=0.0295
p=100
t=np.arange(1,9)/2
m=2
Rc=0.038
by=m*(np.exp(Rc/m)-1)
cashflow=np.ones_like(t)*c*0.5*p
cashflow[-1]=p*(1+c*0.5)
D=maikaoli(cashflow,by,m,t)
print(round(D,4))

可以得出，修正久期为3.7268
可以发现，当利率发生变化时，修正久期也进行了调整。

（三）美元久期
美元久期也称绝对额久期，是指债券价格与修正久期的乘积，可表示为：
$D_s$=BD*
还是上面的例子，求该债券的美元久期。
首先计算出债券的价格：

def bond_value(c,M,t,m,y):
    import numpy as np
    cp=[]
    for i in np.arange(1,t*m+1):
        cp.append(np.exp(-y*i/m)*M*c/m)
    return np.sum(cp)+np.exp(-y*t)*M
c=0.0295
M=100
t=4
m=2
y=0.038
bond_value(c,M,t,m,y)

得到96.7421
然后用这个结果去乘以修正久期

bond_value(c,M,t,m,y)*D

得到360.54