单目标线性规划

线性规划是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，它是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的做出最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。

线性规划问题的标准形式为

线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。

从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：

（1）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。

（2）由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数。

（3）由决策变量所受限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

所建立的数学模型具有以下特点：

（1）每个模型都有若干个决策变量，决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。

（2）目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化或最小化，二者统称为最优化。

（3）约束条件也是决策变量的线性函数。

当得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

MATLAB采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种，求解函数为linprog。

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【例】

求解函数的最小值 ，其中满足条件：

编写MATLAB代码：

f=[-5,-4,-6];
a=[1,-1,1;3,2,4;3,2,0];
b=[20;42;30];
lb=[0;0;0];
ub=[inf;inf;inf];
[x,fval]=linprog(f,a,b,[],[],lb,ub);
x
fval

得到结果：

x =

         0
   15.0000
    3.0000


fval =

   -78

所以函数最小值为-78。

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