前缀和 差分 C++ 小结

·差分和前缀和互为逆运算

·合理地使用前缀和和差分能使得复杂问题简单化

特别感谢这篇文章

?前缀和与差分 图文并茂 超详细整理（全网最通俗易懂）_林小小小鹿的博客-CSDN博客_前缀和差分

前缀和：

一维

~预处理(递推关系)s[i]=s[i-1]+a[i]

查询（O（1）） L到R的区间和 S = s[R]-s[L-1]

二维

s[i][j]代表左上角（1，1）到左下角（i，j）围成的矩阵的元素和

至于为什么是（1，1）而不是（0,0),主要是为了使得在递推的时候，避免下标出现负数的情况；

预处理（递推关系）：

s[i][j] = s[i-1][j]+(s[i][j-1]-s[i-1][j-1])+a[i][j] (i,j>=1)

而当i或j等于 = 0的时候，初始化等于0（就是说输入数据的时候行列都从1开始）

而当i或j等于1的时候，递推关系依旧成立（此时就是一维的递推关系）

查询：

时间复杂度O（1）

以（x1,y1）为左上角 (x2,y2)为右下角围成的矩形的元素和（设为F）

F = s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1](脑海里想一下排列着的数字就容易出来了)

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差分

一维：已知数列an,a0=0;

构造差分数列 bn = an-an-1

累加法

b1=a1-a0

b2=a2-a1

…

bn=an-an-1，累加得到b1+b2…bn=an-a0=an ，即an是bn的前缀和

问题：给定n个数，如何将第l个数字到第r个数字都加上c

循环可，下面介绍差分

设这n个数构成一段前缀和序列an

构造对应于an的差分序列bn,（b1=a1）；那么有an=b1+b2+…bn

b1,b2,b3,…bl…br，br+1…bn

我们对第bl的数字加上c，对第r+1个数字减掉c，设cn是对应于此时序列的前缀和序列

c1,c2…cl…cr,cr+1…cn可以表示为

b1, b1+b2…b1+b2+…bl+c…b1+b2+…(bl+c)+…br,.b1+b2+…(bl+c)+…br+(br+1-c)…

可以看到第1至l-1个数 cn=an

而第l至第r个数 cn=an+c

而第r+1至第n个数 cn = an ,那么可以发现，此时的前缀和序列cn，正是我们想要达到的效果；

二维

已知二维数组a[i][j]代表左上角（1，1）到右下角(i,j)所围成的矩形的元素和。

构造差分数列b[i][j]

b[i][j] = a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1] （脑海里想着几排数字就可以出来了）

问题：给定n个数放入二位数字a[i][j]中，如何将以(x1,y1）为左上角 （x2,y2）为右下角所围成矩形的所有元素加上c

思路和一维类似，通过对差分数列的加加减减，最后通过这个处理过的差分数列得到一个新的前缀和序列即所求的问题答案

这里感觉理解起来还是有点麻烦，虽然还是能弄出来，就先粗糙的理解吧：

对左上角的元素（x1,y1），加上c，然后对于右上角（x1,y2+1）-c，

然后对于左下角(x2+1,y1)-c，由于减了两次，然后对右下角(x2+1,y2+1)-c（非常粗糙，后续再加强理解吧）

反正二维差分对一个矩形内的元素加减，只需要对四个边角差分元素加加减减，最后得到一个新的二维前缀和序列即可。

奔赴热爱 奔赴山海 算法 数学 永不凋谢。