每日一题-238. 除自身以外数组的乘积

题目描述

题目描述:
给你一个长度为 n 的整数数组 nums，其中 n > 1，返回输出数组 output ，其中 output[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。
示例:
输入: [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]
提示：
题目数据保证数组之中任意元素的全部前缀元素和后缀（甚至是整个数组）的乘积都在 32 位整数范围内。
说明: 请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。
进阶：
你可以在常数空间复杂度内完成这个题目吗？（ 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。）
来源：力扣（LeetCode）

题目分析

看到提示了没？出题者这几乎是明晃晃地把解法拍在脸上了，应该看出来这道题的算法了吧。

题目数据保证数组之中任意元素的全部前缀元素和后缀（甚至是整个数组）的乘积都在 32 位整数范围内。

大体便是求数组的前缀连乘与后缀连乘，采用空间换时间的策略获得时间复杂度为O(n)的算法。

解决方案

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        vector<int> bn;
        vector<int> ans;
        int c,n,al=nums.size()-1;
        bn.resize(al);
        ans.resize(nums.size());
        c=1;
        for(n=al;n>=0;--n)
        {
            c*=nums[n];
            bn.push_back(c);
        }
        ans.push_back(bn[al-1]);
        c=nums[0];
        for(n=1;n<al;++n)
        {
            ans.push_back(c*bn[al-1-n]);
            c*=nums[n];
        }
        ans.push_back(c);
        return ans;
    }
};

算法改良

首先说一下这道题的暴力破解的解法。粗暴地叠两层循环，对于每一个数都重复地求其余项的连乘。
我们通过把求其余项连乘拆分为求前后缀子项连乘，本质上就是通过减少重复的乘法运算来降低时间复杂度。
因此，如果我们能再次减少乘法运算的次数，那么我们就能再进一步降低算法的时间复杂度。
首先，我们看一下求前后缀连乘的算法的过程。
设，输入数组nums为：[1,2,3,4],fn为前缀数组，bn为后缀数组，ans为求解答案。

nums	1	2	3	4
fn	1	1 * 2	1 * 2 * 3	/
bn	4	4 * 3	4 * 3 * 2	/
ans	4 * 3 * 2	4 * 3 * 1	4 * 1 * 2	1 * 2 * 3

通过观察，发现fn[3]和bn[3]的表达式十分相似，都是i * 2 * 3。其中，便存在2 * 3 这一个重复运算的乘法。那么，有解决方案来消除这一个重复的乘法运算吗？我们来探究一番。
既然2*3是重复的运算，那么我们能否先算2 * 3 再算1 * 2 * 3和2 * 3 * 4这两个算术表达式吗？似乎蕴含了动态规划的思想，该做法具有可行性。

我们成功的获得了1 * 2 * 3和2 * 3 * 4这两个表达式。这表示了我们完全可以先求其余项的任意子数组的连乘，再求其余项的连乘，而不局限于把其余项分解为前后缀子项求连乘。
因此，我们可以将数组分解到极致，每一个数为一个子数组，然后向上求其余项连乘。
这是我们的输入数组[1,2,3,4]

现在，被拆分为4个子数组：[ 1 ]，[ 2 ]，[ 3 ]，[ 4 ]

然后，采用自底向上的动态规划思想，先求子数组的连乘，再求其余项的连乘。

最后，我们获得了题目需要的数组。
通过分析与计算，该算法的时间复杂度为O(log(n))
具体代码请各位读者自己实现。
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2020/7/3 更正：
根据乘积次数计算时间复杂度，采用动态规划的时间复杂度为O(n+log(n)),但是前后缀的时间复杂度为O(2n)，因此该算法是对原算法的改良。
每个数组的成员至少需要计算一次，因此不太可能存在时间复杂度为O(log(n))的算法。