【六】SVD分解

SVD分解在很多经典应用中都有用到，比如数据压缩，降噪等，PCA也和SVD有着紧密联系，这里记录自己关于SVD分解求解最小二乘解的学习笔记，若有错误请指出，谢谢。

在实践中，由于存在测量误差和多次测量，所以超定方程是很常见的，所谓的超定方程是方程个数多于未知数个数的方程组，而对于线性方程组来说可能有解也有可能无解，如果没有解就不解了吗，不是的，我们还是要求必须解出来的，即使结果是个非精确的解，而这个解叫做线性最小二乘解。线性方程组分为两种，如下：

• 非齐次方程（Ax=b）的最小二乘解求解方法

1. 正规方程求解
2. 乔姆斯基分解法求解  
3. QR分解法求解
4. 奇异值分解法求解（SVD）

• 齐次方程（Ax=0）的最小二乘解求解方法

1.线性空间

线性空间的属性：

• 维数：n
• 基：一组 n 个线性无关的向量

线性空间需要满足的条件：

• 加法封闭（可加性）：空间内任意两向量相加（减），结果必须还在空间中。

• 数乘封闭（齐次性）：空间内任意向量乘以标量，结果必须还在空间中。

注意：“数乘封闭”隐含了： 线性空间必须包括零向量（当 λ=0时）；

2.矩阵4个子空间

首先，介绍下矩阵的秩（rank），即矩阵最大线性无关组中包含的向量数 ——刨除所有对张成的空间“毫无贡献”的向量（即线性相关的）后，剩下的有效向量数目。

假设 A 是 m×n 的矩阵，其秩为 r ：

• 行空间（row space）

A 中所有行向量张成的子空间，维度是 r，记作：

•  列空间（column space）

A 中所有列向量张成的子空间，维度是 r，记作：

• 零空间（nullspace）

以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组的所有非平凡解集张成的子空间，说人话就是“能令 Av = 0 的所有非零 v”：

• 左零空间（left nullspace）

类似列空间和行空间的关系，左零空间是 A 的转置的零空间；“左零”的说法来自其定义中矩阵是“左乘”到向量上的，而不是习惯上的右乘：

注意： 

• 矩阵非奇异（可逆）的充分必要条件是矩阵的行、列数都等于秩，即满秩矩阵
• 无论是行向量之间，还是列向量之间，都线性无关，即矩阵中的每一行都为行空间贡献了维度，每一列都为列空间贡献了维度。
• 非奇异矩阵的零空间和左零空间就成了零维的，即其中只包含零向量

3.四个基本子空间的关系

对于线性变换：

这个变换的过程中：

• 向量 x 来自 A 的行空间或零空间（左侧的两个空间），变化后到达列空间。

按照矩阵乘法的定义，b是 A 中各列按照 x 的线性组合（或者说以 A 中各列为基，x 的坐标表示）。

• 对于非奇异矩阵 A(m*n)，因为它是满秩的，行空间足以张成整个 Rn空间，列空间足以张成整个 Rm空间，那么行空间中所有向量一定可以一一映射到列空间中，行空间中零向量也只映射到列空间的零向量上。
• 对于奇异矩阵A(m*n)，因为行空间中存在浑水摸鱼的向量(线性相关)，其只能张成 r 维空间（r

5.SVD分解

首先，对于A（mxn, m>n），其中秩r为：

A的行空间的一组正交基为：

A的 列空间的一组正交基为：

 行空间和列空间之间满足关系：

对于奇异矩阵，剩下的n-r维就构成了零空间，使得Avi=0：

 

 同样，ui扩展到Rm维空间

则可以得到：

 这样就可以得到A的奇异值分解：

其中，V是nxn的正交矩阵，U是mxm的正交矩阵，∑为mxn的对角矩阵。

6.SVD证明

 首先，已知∑是mxn对角矩阵

 其中,  表示零矩阵(Zero matrix).

利用分块矩阵:

 因为  是正交矩阵, 所以

7.SVD求解过程

• 求出方阵A^T*A和A*A^T

 注意：

1. 两个矩阵拥有完全相同的r个非0特征值。
2. AAT和ATA都是对称矩阵

• 对A^TA进行特征分解得到特征值和特征向量满足下式

• 对AA^T进行特征分解得到特征值和特征向量满足下式

• 求出奇异值

• 得到A的奇异值分解

8.SVD求解 AX=b方程

 9.SVD求解AX=0方程

目标：期望找到方程Ax = 0中 x 不等于零的解

由于该方程的特殊形式我们会发现对于 x 不等于零的解我们乘上任意的尺度因子 k 使解变为 kx 都不会改变最终结果。因为我们可以将问题转化为求解 x 使得||Ax||值最小并且||x||=1。

参考：

1. 矩阵的四个基础子空间

2. 奇异值分解(SVD)原理详解及推导

3. 证明Ax=0的最小二乘解是ATA的最小特征值对应的特征向量(||x||＝1)

4. SLAM中的优化理论（一）—— 线性最小二乘