LeetCode 1420. 生成数组

一、题目

1、题目描述

  给你三个整数 $n$、$m$ 和 $k$。下图描述的算法用于找出正整数数组中最大的元素。
请你生成一个具有下述属性的数组 arr：
  1、arr中有 n个整数。
  2、$1\le arr[i]\le m$ 其中 $(0\le i<n)$。
  3、将上面提到的算法应用于 arr，search_cost的值等于 k。
返回上述条件下生成数组 arr的 方法数 ，由于答案可能会很大，所以 必须 对 $10^9+7$ 取余。
  样例输入： n = 50, m = 100, k = 25
  样例输出： 34549172

2、基础框架

• C++ 版本给出的基础框架代码如下：

class Solution {
public:
    int numOfArrays(int n, int m, int k) {
    }
};

3、原题链接

LeetCode 1420. 生成数组

二、解题报告

1、思路分析

  $(1)$ 首先，我们需要知道什么情况下，search_cost会进行累加。我们来看一个图：

  $(2)$ 设想有一个单调栈，栈中元素从 栈底 到 栈顶 都是单调递增的，那么，从左往右扫描数据，遇到红色的点就应该入栈，并且入栈的次数应该和search_cost相等。
  $(3)$ 注意，这里需要取模，但是直接取模效率较低，可以采用减法代替取模。

1）设计状态

  于是，就可以设计状态如下：$dp[i][j][t]$ 表示总共有 $i$ 个数，单调栈中栈顶元素为 $j$，且单调栈的总元素个数为 $t$ 个。

2）最终状态

  当总共有 $n$ 个数，最大的数为 $m$，且search_cost为 $k$ 时，我们要求的方案数就应该是 ${\sum }_{j=1}^{m}dp[n][j][k]$。

3）初始状态

  当只有一个数的时候，单调栈中元素的个数必定是 1 个，它就是初始状态，即： $dp[1][j][1]=1(1\le j\le m)$

4）状态转移

  当 $dp[i][j][t]$ 已知，也就是前 $i$ 个数中，单调栈中元素个数为 $t$ 个，且栈顶元素的值为 $j$ 的时候的方案数为 $dp[i][j][t]$。
  那么，我们可以往后面继续塞入一个数，塞入的数可以是 $jj(1\le jj\le m)$，分两种情况讨论：
    $(1)$ $j\ge jj$，那么引入 $jj$ 并不会对单调栈产生影响，状态转移到了 $dp[i+1][j][t]$；
    $(1)$ $j<jj$，那么引入 $jj$ 就会将 $jj$ 插入到单调栈中，使得栈中元素增加了一个，状态转移到了 $dp[i+1][jj][t+1]$；

2、时间复杂度

   状态数 $O(nmk)$，状态转移 $O(m)$，最坏时间复杂度 $O(n{m}^{2}k)$ 。

3、代码详解

class Solution {
    #define maxn 52
    #define maxm 102
    #define maxk 52
    #define mod 1000000007
    int dp[maxn][maxm][maxk];

public:
    int numOfArrays(int n, int m, int k) {
        int i, j, t;
        int jj;
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(j = 1; j <= m; ++j) {
            dp[1][j][1] = 1;
        }
        for(i = 1; i <= n; ++i) {
            for(j = 1; j <= m; ++j) {
                for(t = 1; t <= k; ++t) {
                    int x = 0;
                    for(jj = 1; jj <= j; ++jj) {
                        dp[i+1][j][t] += dp[i][j][t];
                        if(dp[i+1][j][t] >= mod) {
                            dp[i+1][j][t] -= mod;
                        }
                    }
                    for(jj = j + 1; jj <= m; ++jj) {
                        dp[i+1][jj][t+1] += dp[i][j][t];
                        if(dp[i+1][jj][t+1] >= mod) {
                            dp[i+1][jj][t+1] -= mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }

        int ans = 0;
        for(j = 1; j <= m; ++j) {
            ans += dp[n][j][k];
            if(ans >= mod) ans -= mod;
        }
        return ans;
    }
};

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三、本题小知识

  动态规划的求解过程比较单一，可以先设计状态，再考虑最终状态，边界状态，再进行状态转移。

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