2021 Jiangsu Collegiate Programming Contest F. Jumping Monkey II 树剖+线段树

F. Jumping Monkey II

题意：
给你$n=2e5$的一棵树，每个点有点权 $a[i]<=1e9$，对于每个点，求以这个点出发，并且以自己为 $LIS$ 的起点 的 最长 $LIS$的长度。

思路：
首先假设一号结点为根，然后每个点作为LIS的起点有三种可能：

标注$st$的结点为 $LIS$的起点，直线向上代表走父亲，向下代表走子树。
圆圈的点，是在 $LIS$上的点，不在 $LIS$上的点没有画出，用直线表示。

情况一：子树的结点做贡献
情况二：祖先结点和子树不做贡献，从除子树和祖先结点转移过来
情况三：祖先结点做贡献，从祖先结点转移过来

对于情况一，我们需要在子树里找点权比当前点大，且 向下的 $LIS$最长的 转移过来。
对于情况二，我们需要在除子树和除祖先结点里找点权比当前点大，且 向下的 $LIS$最长的 转移过来。
考虑这两个一起做，点权比当前点大的限制比较难处理，所以考虑按照点权从大到小加点，并用线段树维护。
对于情况一，就可以用 $dfs$序求子树 查询最大值转移过来。（为了下面的情况三，这里每个点需要求出向下的最大长度和次大长度，并且记一下最大长度是哪个子树转移过来的。）
对于情况二，就可以利用 树剖序 求不在当前向上的重链以及子树的 最大值转移过来。

现在只需要考虑情况三，可以发现每个祖先$fa$ 有 三种选择：
第一种： 从$fa$的祖先转移过来；
第二种：不从 $fa$的祖先且不从子树转移过来，即其他部分转移过来；
第三种: 从 $fa$的子树转移过来，但是子树不和当前 结点 $x$的子树重合；

然后每个点可以从祖先中点权比自己大的最大值转移过来。
这里就不能从大到小加点了，因为有子树不能重合的限制，考虑 $dfs$的过程中 用线段树维护 当前结点到根的路径上的信息。用排序过后的标号来建线段树，就可以用区间查询最大值 来实现 求点权比自己大的最大值了。

详细细节见代码。
只能说跑的飞快：

代码：

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i,n,m) for(int i=n;i<=m;i++)
#define repp(i,n,m) for(int i=n;i>=m;i--)
const int N= 2e5+10;

int n,m,t;
vector<int>v[200050],vv;
struct nod{
	int x,id;
}z[200050];
int dfn[200050],siz[200050];
int len=0;


int tr[2][800050];
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define mid (l+r>>1)
int ans[200005];
int dep[200059],fa[200050],top[200050],son[200050];
int dp[200050][2],id[200050];
int idd[200050],st[200050],ed[200060];

void dfs1(int x,int pre){
	fa[x]=pre;dep[x]=dep[pre]+1;
	siz[x]=1;
	son[x]=0;
	for(auto to:v[x]){
		if(to==pre)continue;
		dfs1(to,x);
		siz[x]+=siz[to];
		if(siz[to]>=siz[son[x]])son[x]=to;
	}
}
void dfs2(int x,int pre){
	if(son[pre]==x)top[x]=top[pre];
	else top[x]=x;
	dfn[x]=++len;
	if(son[x])dfs2(son[x],x);
	for(auto to:v[x]){
		if(to==pre||to==son[x])continue;
		dfs2(to,x);
	}
}
bool cmp(nod a,nod b){
	return a.x>b.x;
}
void build(int p,int l,int r,int op){
	tr[op][p]=0;
	if(l==r)return;
	build(ls,l,mid,op);
	build(rs,mid+1,r,op);
}
void update(int p,int l,int r,int x,int w,int op){
	if(l==r){
		tr[op][p]=w;
		return;
	}
	if(x<=mid)update(ls,l,mid,x,w,op);
	else update(rs,mid+1,r,x,w,op);
	tr[op][p]=max(tr[op][ls],tr[op][rs]);
}
int query(int p,int l,int r,int x,int y,int op){
	if(x>y)return 0;
	if(x<=l&&r<=y){
		return tr[op][p];
	}
	int ans=0;
    if(x<=mid)ans=max(ans,query(ls,l,mid,x,y,op));
    if(mid<y)ans=max(ans,query(rs,mid+1,r,x,y,op));
    return ans;
}
void up(int x,int y){
	int i=y;
	while(top[x]!=top[y]){
		int a=top[y];
		int b=y;
				
		ans[i]=max(ans[i],query(1,1,n,dfn[b]+siz[b],dfn[a]+siz[a]-1,0)+1);
		y=fa[top[y]];
		ans[i]=max(ans[i],query(1,1,n,dfn[y]+1,dfn[a]-1,0)+1);
		ans[i]=max(ans[i],query(1,1,n,dfn[a]+siz[a],dfn[y]+siz[y]-1,0)+1);
	}
	int a=top[y];
	int b=y;
	ans[i]=max(ans[i],query(1,1,n,dfn[b]+siz[b],dfn[a]+siz[a]-1,0)+1);
}
void dfs3(int x,int pre){
	int res=query(1,1,n,1,st[z[idd[x]].x]-1,1)+1;
	ans[x]=max(ans[x],res);
	update(1,1,n,idd[x],max(res,max(ans[x],dp[x][1])),1);
	if(id[x]!=-1)dfs3(v[x][id[x]],x);
	update(1,1,n,idd[x],max(res,max(ans[x],dp[x][0])),1);
	for(int i=0;i<v[x].size();i++){
		int to=v[x][i];
		if(i==id[x]||to==pre)continue;
		dfs3(to,x);
	}
	update(1,1,n,idd[x],0,1);
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		len=0;
		vv.clear();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&z[i].x);
			z[i].id=i;
			vv.push_back(z[i].x);
			ans[i]=0;
		}
		sort(vv.begin(),vv.end());
		vv.erase(unique(vv.begin(),vv.end()),vv.end());
		for(int i=1;i<=n;i++){
			z[i].x=lower_bound(vv.begin(),vv.end(),z[i].x)-vv.begin()+1; 
		}
		for(int i=1;i<n;i++){
			int a,b;
			scanf("%d%d",&a,&b);
			v[a].push_back(b);
			v[b].push_back(a);
		}
		build(1,1,n,0);
		build(1,1,n,1);
		dfs1(1,0);
		dfs2(1,0);
		sort(z+1,z+1+n,cmp);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(z[i].x!=z[i-1].x)st[z[i].x]=i;
			ed[z[i].x]=i;
			idd[z[i].id]=i;
		}
		ll pre=1;
		rep(i,1,n){
			if(z[i].x!=z[pre].x){
				while(pre<i){
					update(1,1,n,dfn[z[pre].id],dp[z[pre].id][0],0);
					pre++;
				}
			}
			dp[z[i].id][0]=1;
			dp[z[i].id][1]=-1e9;
			id[z[i].id]=-1;
			int cnt=-1;
			for(auto to:v[z[i].id]){
				cnt++;
				if(to==fa[z[i].id])continue; 
				int res=query(1,1,n,dfn[to],dfn[to]+siz[to]-1,0);
				if(res+1>dp[z[i].id][0]){
					dp[z[i].id][1]=dp[z[i].id][0];
					dp[z[i].id][0]=res+1;
					id[z[i].id]=cnt;
				}else if(res+1>dp[z[i].id][1]){
					dp[z[i].id][1]=res+1;
				}
			}
			up(1,z[i].id);
		}
		dfs3(1,0);
		for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",max(ans[i],dp[i][0]));
		vv.clear();
		for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear();
	}
	return 0;
}