ACM. HJ107 求解立方根 ●●

HJ107 求解立方根 ●●

描述

计算一个浮点数的立方根，不使用库函数。
保留一位小数。

数据范围：$\mid val\mid \le 20$

输入描述：

待求解参数，为double类型（一个实数）

输出描述：

输出参数的立方根。保留一位小数。

示例

输入：19.9
输出：2.7

题解

1. 二分查找

二分法查找，关键在于确定初始的查找边界，有以下几种情况：

1. x>1，x的立方根的范围为[1,x]。
2. -1
3. x<-1，x的立方根范围[x,-1]。

如果输入的 x>1，那么立方根一定在 1 到 x 之间，这是有序的，我们可以用二分法查找这之间三次方接近于 x 的值，当区间范围不超过0.01表示找到了这个值。

• 时间复杂度：$O((lo{g}_{2}n{)}^k)$，二分法的复杂度为$O(lo{g}_{2}n)$，但是这里的 k 不确定，与精度有关
• 空间复杂度：O(1)，无额外空间

#include 
using namespace std;

int main(){
    double num = 0;
    cin >> num;
    double left = min(-1.0, num);
    double right = max(1.0, num);        
    double mid = 0;
    while(abs(right - left) > 0.01){     // 控制精度，保留一位小数，精确到0.01即可
        mid = (right + left) / 2;        // 二分    
        if(mid * mid * mid > num){
            right = mid;
        }else if(mid * mid * mid < num){
            left = mid;
        }else{
            printf("%.1f", mid);
        }
    }
    printf("%.1lf", mid);        // 保留一位小数输出
    return 0;
}

2. 牛顿迭代法

设方程$f(x)=x^3-y$，当$f(x)=0$时的解 x 就是 y 的立方根。根据牛顿迭代法，我们有$x=x-(x^3-y)/(3\ast x^2)$，我们只需要控制$x^3$和 y 的精度在一定范围之内迭代即可。

• 时间复杂度：$O((lo{g}_{2}n{)}^k)$，牛顿迭代法时间复杂度与$O(lo{g}_{2}n)$有关，但是这里的 k 不确定，与精度有关
• 空间复杂度：O(1)，无额外空间

#include
#include
using namespace std;
 
double cal(double x){ // 牛顿迭代法
    double y = 1;
    while(((y * y * y - x) >= 1e-2) || (x - y * y * y) >= 1e-2) //精度控制
        y = (y - y / 3 + x / (3 * y * y));
    return y;
}
 
int main(){
    double val;
    while(cin >> val){
        cout << setprecision(1) << fixed << cal(val) << endl; //控制小数位输出
    }
    return 0;
}