【数据结构与算法重学笔记】2、时间/空间复杂度

       我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。

 一、时间复杂度

1、大 O 复杂度表示法

看代码：

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

这里假设每条代码执行的时间都是一样的记为时间time，则语句2、3、4各执行一次，语句5、6执行6各执行n次，语句7、8各执行n*n次，所以整段代码执行时间为T(n) = (2n*n+2n+3)*time。总结规律即：所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比，归结为大O的公式即：

 具体解释一下这个公式。其中

T(n) ：代码执行的时间；

n：数据规模的大小；

f(n)：每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。

公式中的 O：代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

注意：当公式中n十分大时，可以忽略低阶、常量、系数三部分通常不会影响整体增长趋势，如上面例子可以记为T(n)=O(n^2)。所以大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以也叫渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2、时间复杂度分析方法：

1、只关注循环次数最多的一段代码

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

如上面代码时间复杂度T(n)=O(n)

2、加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

如上面代码时间复杂度T(n)=O(n^2)

3、乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

如上面代码时间复杂度T(n)=O(n^2)

3、常见的时间复杂度：

常见的时间复杂度分为两类：多项式量级（左），非多项式量级（右）

1、O(1)

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

2、O(logn)、O(nlogn)

i=1;
for(k = 1; k < 3; ++k){
  while (i <= n)  {
    i = i * 2;
  }
}

3. O(m+n)、O(m*n)

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

 二、空间复杂度

类比时间复杂度，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度。用来表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n)，看下面例子：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i = 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

三、不同复杂度算法执行效率和数据规模关系

四、浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

同一段代码，在不同输入的情况下，复杂度量级有可能是不一样的。如下面的代码：

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

1、最好、最坏情况时间复杂度

a、最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

分析代码：

要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)为最好情况时间复杂度。

b、最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

分析代码：

但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)为最坏情况时间复杂度。

2、平均情况时间复杂度

全称：加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

（只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，我们才会使用这三种复杂度表示法来区分。）

分析代码：

我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。所以时间复杂度为：

O((3n+1)/4)简化后为O(n)即平均情况时间复杂度

3、均摊时间复杂度

分析方法：摊还分析（或者叫平摊分析）

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度。

（将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。）