【初阶数据结构与算法 1】时间复杂度与空间复杂度（1）

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前言

从本文开始进入了新阶段，学习初阶数据结构和算法，以纯C实现。

本文主要学习时间复杂度与空间复杂度，内容包括：

• 算法效率
• 时间复杂度及相关练习
• 空间复杂度及相关练习
• 常见时间复杂度的对比

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1、算法效率

如何衡量一个算法的好坏呢？之前在【C语言基础4——函数（2）】7.6 和 7.7小节中学习了斐波那契数列，并且讨论了递归和循环的选择问题:

long long Fib(int N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但其存在问题，实现效果没有循环迭代的方式好。由此引出使用算法效率来衡量好与坏。

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个方面来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度：

• 时间复杂度：主要衡量一个算法的运行快慢
• 空间复杂度：主要衡量一个算法运行所需要的额外空间

2. 时间复杂度

2.1 定义

• 在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间
• 算法执行所耗费的精确时间，从理论上说，是不能算出来的，只有把程序放在机器上跑起来，才能知道
• 时间复杂度这个分析方式，分析的不是算法执行时间的精确值，而实一个估计值
• 一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度
• 找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

举例说明，请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;//
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1执行次数为： N*N + 2*N + 10，分析过程见下图：

由于不需要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，因此使用大O的渐进表示法来表示算法的时间复杂度

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

具体表示方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

Func1的时间复杂度为： O(N^2)

时间复杂度只考虑影响最大的项，忽略影响较小的项， 一般存在三种情况：

• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

例如在一个长度为N数组中搜索一个数据x，则分为下面三种情况：

• 最好情况：1次找到
• 平均情况：N/2次找到
• 最坏情况：N次找到

在实际中，关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3 常见时间复杂度练习

2.3.1 练习1

计算Func2的时间复杂度：

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

练习 1 基本操作执行了 2N+10 次，时间复杂度为 O(N)，分析过程见下图：

2.3.2 练习2

计算Func3的时间复杂度：

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

练习 2 基本操作执行了 M+N 次，时间复杂度为 O(N)，分析过程见下图：

2.3.3 练习3

计算Func4的时间复杂度：

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

练习 3 基本操作执行了100次，时间复杂度为 O(1)，分析过程见下图：

2.3.4 练习4

计算strchr的时间复杂度：

const char * strchr(const char * str, int character)
{
	while (*str)
	{
		if (*str==character)
		{
			return str;//返回地址
		}
		else
		{
			++str;
		}
	}
	return NULL;//没有找到
}

练习 4 基本操作执行最好 1 次，最坏 N 次，时间复杂度为 O(N)，分析过程见下图：

2.3.5 练习5

计算BubbleSort的时间复杂度：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

练习 5 基本操作执行最好 N 次，最坏执行了 (N*(N+1)/2 次，时间复杂度为 O(N^2)，分析过程见下图：

2.3.6 练习6

前文已学习的二分查找的时间复杂度，【C语言基础3——函数（1）】4.3.3 二分查找

计算BinarySearch的时间复杂度：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

练习 6 基本操作执行最好 1 次，最坏 O(logN) 次，时间复杂度为 O(logN) ，以2为底分析过程见下图：

2.3.7 练习7

计算阶乘递归Fac的时间复杂度：

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

练习 7 通过计算分析发现基本操作递归了 N 次，时间复杂度为O(N)，分析过程见下图：

2.3.8 练习8

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度：

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

练习 8 通过计算分析发现基本操作递归 2^N 次，时间复杂度为 O(2^N)，分析过程见下图：

3、空间复杂度

• 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中，临时占用存储空间大小的量度
• 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，计算的是变量的个数
• 空间复杂度计算规则类似于时间复杂度，不是精确值，而实估计值
• 空间复杂度也使用大O渐进表示法

经过了前面C语言阶段的学习后，知道了函数在运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

3.1 练习 1

计算 BubbleSort 的空间复杂度：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

练习 1 使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)，分析过程见下图：

3.2 练习 2

计算 Fibonacci 的空间复杂度：

// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

练习 2 动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)，分析过程见下图：

3.3 练习 3

计算阶乘递归 Fac 的空间复杂度：

long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

练习 3 递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)，分析过程见下图：

3.4 练习 4

计算斐波那契递归 Fib 的空间复杂度？

long long Fib(size_t N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

练习 4 递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧的空间，因为空间可以重复利用，空间复杂度为O(N)，分析过程见下图：

4 、常见时间复杂度对比

• 前文提到了计算效率，在计算机发展的早期，由于存储容量很小，所以在乎空间复杂度
• 但是经过计算机行业的迅速发展，存储容量已经达到了很高的程度
• 因此已经不需要特别关注算法的空间复杂度
• 只需要关注算法的时间复杂度即可

下面时间复杂度，从上到下，依次增加：

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总结

本文学习了时间复杂度、空间复杂度及相关计算：

时间复杂度：

• 算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例
• 算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度
• 是一个估计值，不是准确值
• 使用大O渐进表示法
• 要根据算法的思想来确定，不能想当然

空间复杂度：

• 是对一个算法在运行过程中，临时占用存储空间大小的量度
• 不计算程序占用了多少字节的空间，计算的是变量的个数
• 不是精确值，而实估计值
• 空间复杂度也使用大O渐进表示法

下一篇更新时间复杂度和空间复杂度的相关练习。