在两个有序的数组中找第N个数，二分查找 O(lgm+lgn)级

在两个有序的数组中找第N个数，O(lgm+lgn)级

分类： 算法 2009-10-09 20:52  981人阅读  评论(3)  收藏  举报

问题描述：

Give a divide and conquer algorithm for the following problem:
you are given two sorted lists of size m and n, and are allowed 
unit time access to the ith element of each list. Give an O(lg m + lgn) 
time algorithm for computing the kth largest element in the union of the  two lists. (For simplicity, you can assume that the elements of the 
two lists are distinct).

问题分析：

1. 把 A 平均分为前后两个部分，前部分有 x 个元素，后部分有 n-x 个元素

（由于 A 是有序的，所以后一部分的所有元素大于前一部分）。A[x] = A的

后一部分的第一个元素。

 

2. 同理把 B 也平均分成前后两个部分，前部分有 y 个元素，后部分有 m-y 个元素。 
B[y] = B的后一部分的第一个元素。

3. 由于两个数组都是被平均分割的，所以可以近似地认为 x = n/2, y = m/2。 
这里不妨设 A[x] <= B[y]（如果 A[x] > B[y] 处理过程和下面类似）： 

 

part1:

 
由于在 A 中，A[x] 前面有 x 个元素，在 B 中，B[y] 前面有 y 个元素， 
并且又有 A[x] <= B[y]，那么，合并以后，A[x]前面原来那些元素必然 
也在B[y]前面，也就是说，B[y]前面至少会有 x + y 个元素，我们再规定 
如果 A, B 中有相同元素，则合并后 A 中的元素排在 B 前面，那么归并 
以后 A[x] 也会排在 B[y] 前面，于是乎合并之后 B[y] 至少有 x+y+1 个元素。 
 
如果 k <= x+y+1，也就是说，合并后第 k 大的元素必然落在 B[y] 前面。 
所以，原来在 B 数组中，第二部分（B[y]以及 B[y] 之后）那些元素都不可能 
包含我们要找到内容（第 k 大元素），所以我们可以把他们排除掉。 
这样就排除了 B 中一半的内容。 
 
 

part2:

 
在 A 中，A[x] 及其后面有 n1-x 个元素，除去 A[x] 之后有 n-x-1 个元素， 
B[y] 及其后面有 m-y 个元素。那么，由于 A[x] <= B[y]，所以合并起来之后， 
B[y] 后面那些元素必然也在 A[x] 后面，则合并后 A[x] 后面至少有  
(n-x-1) + (m-y) = (n+m)-(x+y+1) 个元素。 
 
如果 k > x+y+1，也就说，合并后第 k 大的元素必然落在 A[x] 后面。 
所以，原来在 A 数组中，第一部分（A[x]之前）以及 A[x] 都不可能包含我们 
要找的元素，所以我们可以把他们排除掉。这样就排除了 A 中一半的内容。 
 
 

all:

 
综上所诉，对于 k <= x+y+1 还是 k > x+y+1 我们都提出了解决的方案，并且每种方案 
都能把 A 或者 B 的规模减小一半。减小了一半之后，我们将其作为一个新的问题 
继续使用上面的算法处理，直到 A 或者 B 减小到足够小： 
 
1. A没有了，这样只需要找出 B 中第 k 大的元素，也就是 B[k]. 
2. B没有了，同上结果就是 A[k].

 

代码如下：

 

/************************************************************************
 * This is the practice1 of the Algorithms It solved the problem1 below:
 *
 * Give a divide and conquer algorithm for the following problem:
 * you are given two sorted lists of size m and n, and are allowed
 * unit time access to the ith element of each list. Give an O(lg m + lgn)
 * time algorithm for computing the kth largest element in the union of the
 * two lists. (For simplicity, you can assume that the elements of the
 * two lists are distinct).
 *
 * The idea of the Algorithm in the help file idea.txt!!
 *
 * The Algorithm is designed by:Nanne
 *
 ************************************************************************/
#include <iostream>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
int FindTheKth(int a[],int b[],int aLeft, int aRight, int bLeft, int bRight, int k);

int main(){
    int sizeA,sizeB;
    int Kth;
    cout << "AĴС";
    cin >> sizeA;
    int *arrA = new int[sizeA];
    cout << "" << sizeA << "" << endl;
    for (int i = 0; i < sizeA; i++)
        cin >> arrA[i];
    cout << "BĴС";
    cin >> sizeB;
    int *arrB = new int[sizeB];
    cout << "" << sizeB << "" << endl;
    for (int i = 0; i < sizeB; i++)
        cin >> arrB[i];
    while(true){
        cout << "õڼλ" << endl
            << "λҪ" << sizeA + sizeB << "(-1Ƴ):";
        cin >> Kth;
        if( Kth != -1){
            int res = FindTheKth(arrA,arrB,0, sizeA - 1, 0, sizeB - 1, Kth);
            if(res != -1)
                cout << "" << Kth << "λǣ" << res << endl;
        }
        else
            return 0;
    }
}

int FindTheKth(int a[],int b[],int aLeft, int aRight, int bLeft, int bRight, int k) {
    int aMid = (aLeft + aRight) / 2, bMid = (bLeft + bRight) / 2;
    if (aLeft > aRight) return b[bLeft+k-1];
    if (bLeft > bRight) return a[aLeft+k-1];
    if (a[aMid] <= b[bMid]) {
        if (k <= (aMid - aLeft) + (bMid - bLeft) + 1) {
            return FindTheKth(a,b,aLeft, aRight, bLeft, bMid-1, k);
        } else {
            return FindTheKth(a,b,aMid+1, aRight, bLeft, bRight, k-(aMid-aLeft)-1);
        }
    } else {
        if (k <= (aMid - aLeft) + (bMid - bLeft) + 1) {
            return FindTheKth(a,b,aLeft, aMid-1, bLeft, bRight, k);
        } else {
            return FindTheKth(a,b,aLeft, aRight, bMid+1, bRight, k-(bMid-bLeft)-1);
        }
    }
    return -1;
}