题目描述
这是 LeetCode 上的 497. 非重叠矩形中的随机点 ，难度为 中等。
Tag : 「前缀和」、「二分」、「随机化」
给定一个由非重叠的轴对齐矩形的数组 rects，其中 $rects[i] = [a_i, b_i, x_i, y_i]$ 表示 $(a_i, b_i)$ 是第 $i$ 个矩形的左下角点，$(x_i, y_i)$ 是第 $i$ 个矩形的右上角点。
设计一个算法来随机挑选一个被某一矩形覆盖的整数点。矩形周长上的点也算做是被矩形覆盖。所有满足要求的点必须等概率被返回。
在给定的矩形覆盖的空间内的任何整数点都有可能被返回。
请注意 ，整数点是具有整数坐标的点。
实现 Solution 类:
Solution(int[][] rects)用给定的矩形数组rects初始化对象。int[] pick()返回一个随机的整数点 $[u, v]$ 在给定的矩形所覆盖的空间内。
示例 1：
输入:
["Solution", "pick", "pick", "pick", "pick", "pick"]
[[[[-2, -2, 1, 1], [2, 2, 4, 6]]], [], [], [], [], []]
输出:
[null, [1, -2], [1, -1], [-1, -2], [-2, -2], [0, 0]]
解释：
Solution solution = new Solution([[-2, -2, 1, 1], [2, 2, 4, 6]]);
solution.pick(); // 返回 [1, -2]
solution.pick(); // 返回 [1, -1]
solution.pick(); // 返回 [-1, -2]
solution.pick(); // 返回 [-2, -2]
solution.pick(); // 返回 [0, 0]提示：
- $1 <= rects.length <= 100$
- $rects[i].length == 4$
- $-10^9 <= a_i < x_i <= 10^9$
- $-10^9 <= b_i < y_i <= 10^9$
- $x_i - a_i <= 2000$
- $y_i - b_i <= 2000$
- 所有的矩形不重叠。
pick最多被调用 $10^4$ 次。
前缀和 + 二分
为了方便，我们使用 rs 来代指 rects，定义某个矩阵内整数点的数量为「面积」。
一个朴素的想法是「先随机使用哪个矩形，再随机该矩形内的点」，其中后者是极其容易的，根据矩形特质，只需在该矩形的 XY 坐标范围内随机即可确保等概率，而前者（随机使用哪个矩形）为了确保是等概率，我们不能简单随机坐标，而需要结合面积来做。
具体的，我们可以预处理前缀和数组 sum（前缀和数组下标默认从 $1$ 开始），其中 $sum[i]$ 代表前 $i$ 个矩形的面积之和（即下标范围 $[0, i - 1]$ 的面积总和），最终 $sum[n]$ 为所有矩形的总面积，我们可以在 $[1, sum[n]]$ 范围内随机，假定随机到的值为 $val$，然后利用 sum 数组的具有单调性，进行「二分」，找到 $val$ 所在的矩形（每个矩形均会贡献面积，可看做是每个矩形在数轴 $[1, sum[n]]$ 内贡献一段长度为面积的连续段，我们二分是为了找到点 $val$ 所在的连续段是由哪个矩形所贡献），然后在该矩形中进行随机，得到最终的随机点。
代码：
class Solution {
int[][] rs;
int[] sum;
int n;
Random random = new Random();
public Solution(int[][] rects) {
rs = rects;
n = rs.length;
sum = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + (rs[i - 1][2] - rs[i - 1][0] + 1) * (rs[i - 1][3] - rs[i - 1][1] + 1);
}
public int[] pick() {
int val = random.nextInt(sum[n]) + 1;
int l = 0, r = n;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (sum[mid] >= val) r = mid;
else l = mid + 1;
}
int[] cur = rs[r - 1];
int x = random.nextInt(cur[2] - cur[0] + 1) + cur[0], y = random.nextInt(cur[3] - cur[1] + 1) + cur[1];
return new int[]{x, y};
}
}- 时间复杂度：令 $n$ 为给定的
rs数组长度。初始化Solution时需要预处理前缀和数组，复杂度为 $O(n)$；每次pick时需要在矩形个数 $n$ 范围内进行二分，复杂度为 $O(\log{n})$ - 空间复杂度：$O(n)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.497 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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