1.1 玻璃窗散热问题（复习题）

1.1 玻璃窗散热问题（复习题）

题目来源:《数学模型》（第五版）–姜启源、谢金星、叶俊

1.1.1 题目描述

北方旧宅改造时，为了增强保暖效果常用保温材料在外墙外面再加一层墙，假定只考虑热传导，试通过建模对改造后减少的热量损失给出定量分析，并获取有关数据进行计算。

1.1.2 题目分析

题目示意图如下图所示

我们已知

1. 热量总是从温度高的一方传递向温度低的一方
2. 热量的传递$Q$与温度差$\Delta$$T$成正比，与接触面积$S$成正比，与墙体厚度$d$成反比，于是有以下公式$$Q=kS\frac{\Delta T}{d}$$

1.1.3 模型假设

1. 热量的传播过程只有传导，没有对流。假定墙体的密封性很好，两层墙体之间的空气是不流动的。
2. 室内温度$T_1$和室外温度$T_2$保持不变，热传导过程已经处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3. 墙体材料均匀，热传导系数是常数。

1.1.4 模型

以单位面积通过的热量分析
双层墙 $$Q_1=k_1\ast \frac{T_a-T_1}{d}=k_2\ast \frac{T_b-T_a}{l}=k_1\ast \frac{T_b-T_2}{d}$$
其中$k_1$为砖的热传导系数，$k_2$为墙体间空气的热传导系数，$d$为墙体厚度,$l$为墙体间距离。
式中消去$T_a,T_b$可得$$Q_1=\frac{k_1\ast (T_1-T_2)}{d\ast (s+2)},s=h\ast \frac{k_1}{k_2},h=\frac{l}{d}$$
若使用同样多的材料建造单层墙，则墙体厚度为$2d$
$$Q_2=k_1\ast \frac{T_1-T_2}{2d}$$
可得出二者之比为$$\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{2}{s+2}$$
很显然$Q_2>Q_1$，但是具体大多少，这取决于$s$的大小，经查阅资料墙和不流通干燥空气的导热系数分别为
$k_1=4.07\ast 10^{-4}KJ/(m\cdot s\cdot K)$
$k_2=2.5\ast 10^{-5}KJ/(m\cdot s\cdot K)$
则有$$s=16.28\ast \frac{l}{d}$$

1.1.5 灵敏度分析

则可绘制$\frac{Q_1}{Q_2}$ 与$\frac{l}{d}$关系如下图

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 步骤一（替换sans-serif字体）
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 步骤二（解决坐标轴负数的负号显示问题）
h = 40.7/2.5
#设 l/d = K
K = np.array([i/10 for i in range(1,70)])
s = 16.28*K
#设Q_1/Q_2 = Q_k
Q_k = 2/(s+2)
plt.figure(figsize=(10,5));
plt.title("$Q_1/Q_2$与$l/d$的关系")
plt.xlabel("$l/d$")
plt.ylabel("$Q_1/Q_2$")
plt.plot(K,Q_k,'-',label="$Q_1/Q_2$")
plt.legend()
plt.show()

可以看出在$\frac{l}{d}<2$时，随着$\frac{l}{d}$变大$Q_1/Q_2$迅速减少，但在$\frac{l}{d}>2$时，$Q_1/Q_2$下降的速度开始变的缓慢，因此选择$l/d$在$1\sim 2$时较为合适，此时双层墙将比同样材料的单层墙降低热量散失10倍以上（类似于灵敏度分析）
博客题目考虑和教材答案有部分不一致教材未考虑墙间隙，而博客考虑了墙间隙，推导在↓