python实现概率论（2）

一.常见的连续型随机变量及其密度函数

（1）均匀分布：

一般地，在有限区间 [a,b]上为常数,在此区间外为零的密度函数p(x) 都称为均匀分布,并记为 U(a,b)

密度函数：

分布函数： 

 

 均匀分布是最简单的，也是最常见的分布.

# 【0，1】上的均匀分布
a = float(0)
b = float(1)

x = np.linspace(a, b)
y = np.full(shape = len(x),fill_value=1/(b - a))  # np.full 构造一个数组，用指定值填充其元素

plt.plot(x,y,"b",linewidth=2)
plt.ylim(0,1.2)
plt.xlim(-1,2)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('p (x)')
plt.title('uniform distribution')
plt.show()

 (2)指数分布

 若随机变量 X的密度函数为

则称 X 服从指数分布, 记作 X∼Exp(λ), 其中参数 λ>0。其中 λ 是根据实际背景而定的正参数。假如某连续随机变量 X∼Exp(λ), 则表示 X 仅可能取非负实数。 

分布函数 

 

# 指数分布
lam = float(1.5)

x = np.linspace(0,15,100)
y = lam * np.e**(-lam * x)

plt.plot(x,y,"b",linewidth=2) 
plt.xlim(-5,10)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('p (x)')
plt.title('exponential distribution')
plt.show()

 (3)正态分布

 若随机变量 X 的密度函数为

 则称 X 服从正态分布， 称 X 为正态变量， 记作 X∼N(μ,σ^2)。 其中参数 −∞<μ<∞,σ>0

## 已知正态分布的密度函数求分布函数
from sympy import *
from sympy.abc import mu,sigma
x = symbols('x')
p_x = 1/(sqrt(2*pi)*sigma)*E**(-(x-mu)**2/(2*sigma**2))
integrate(p_x, (x, -oo, x))

 

由图可知，如果固定 σ，改变 μμ的值，则图形沿 x轴平移。 如果固定 μ， 改变 σ 的值，则分布的位置不变,但 σ 愈小，曲线呈高而瘦，分布较为集中; σ 愈大，曲线呈矮而胖， 分布较为分散。

可以得到

1.正态密度函数的位置由参数 μ 所确定， 因此称 μ 为位置参数。

2.正态密度函数的尺度由参数 σ 所确定， 因此称 σ 为尺度参数