数据结构如何计算复杂度

在学习具体的数据结构和算法之前，每一位初学者都要掌握一个技能，即善于运用时间复杂度和空间复杂度来衡量一个算法的运行效率。

通过算法所编写出的程序的运行效率。程序的运行效率具体可以从 2 个方面衡量，分别为：

• 程序的运行时间。
• 程序运行所需内存空间的大小。

数据结构中，用时间复杂度来衡量程序运行时间的多少；用空间复杂度来衡量程序运行所需内存空间的大小。

时间复杂度 

判断一个算法所编程序运行时间的多少，并不是将程序编写出来，通过在计算机上运行所消耗的时间来度量。原因很简单，一方面，解决一个问题的算法可能有很多种，一一实现的工作量无疑是巨大的，得不偿失；另一方面，不同计算机的软、硬件环境不同，即便使用同一台计算机，不同时间段其系统环境也不相同，程序的运行时间很可能会受影响，严重时甚至会导致误判。

实际场景中，我们更喜欢用一个估值来表示算法所编程序的运行时间。所谓估值，即估计的、并不准确的值。注意，虽然估值无法准确的表示算法所编程序的运行时间，但它的得来并非凭空揣测，需要经过缜密的计算后才能得出。

也就是说，表示一个算法所编程序运行时间的多少，用的并不是准确值（事实上也无法得出），而是根据合理方法得到的预估值。

那么，如何预估一个算法所编程序的运行时间呢？

很简单，先分别计算程序中每条语句的执行次数，然后用总的执行次数间接表示程序的运行时间。

大 O 记法的表示方法也很简单，格式如下：

O(频度)

其中，这里的频度为最简之后所得的频度。

例题1）：

for(int i = 0 ; i < n ; i++)     //<- 从 0 到 n-1，执行n次
{
    a++; 
}

看循环次数，循环n次，所以程序的时间复杂度为 O(n)；

例题2）：

for(int i = 0 ; i < n ; i++) 
{ 
    for(int j = 0 ; j < m ; j++) 
    {
        num++; 
    }
}

外层循环n，内层循环m次，要知道，当 n、m 都无限大时，我们完全就可以认为 n==m。

程序的时间复杂度为 O(n^2)。

例题3）：

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
		{
			++count;
		}
	}

	for (int k = 0; k < 2 * N; k++)
	{
		++count;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}

时间复杂度为N^2+2*N+M；

事实上，对于一个算法（或者一段程序）来说，其最简频度往往就是最深层次的循环结构中某一条语句的执行次数。例如 2n+1 最简为 n，实际上就是 a++ 语句的执行次数；同样 2n2+2n+1 简化为  n2，实际上就是最内层循环中 num++ 语句的执行次数。

简写程序时间复杂度为O(N^2);

例题5）：

void Func(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; k++)
	{
		count++;
	}
}

只要是常数次执行，时间复杂度统统都是O（1）；

例题6）：

//二分查找
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);

	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
		{
			begin = mid + 1;
		}
		else if (a[mid] > x)
		{
			end = mid;
		}
		else
			return mid;
	}

	return -1;
}

最糟糕的情况就是没找到目标，总数N个，每次查找数量减少一半

可以表示为 ：N/2/2/2/……=1；

N=1*2*2*2*2*……；

2^x=N;

x=log2N
所以时间复杂度为O（log2N）；

例题7）：

//递归斐波那契数
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

时间复杂度为，2^0+2^1+2^2+2^3+……+2^N

简写程序的时间复杂的为 ：O(2^N) 

O(1)常数阶 < O(logn)对数阶 < O(n)线性阶 < O(n2)平方阶 < O(n3)(立方阶) < O(2n) (指数阶)

空间复杂度

和时间复杂度类似，一个算法的空间复杂度，也常用大 O 记法表示。

要知道每一个算法所编写的程序，运行过程中都需要占用大小不等的存储空间，例如：

• 程序代码本身所占用的存储空间；
• 程序中如果需要输入输出数据，也会占用一定的存储空间；
• 程序在运行过程中，可能还需要临时申请更多的存储空间。

首先，程序自身所占用的存储空间取决于其包含的代码量，如果要压缩这部分存储空间，就要求我们在实现功能的同时，尽可能编写足够短的代码。

程序运行过程中输入输出的数据，往往由要解决的问题而定，即便所用算法不同，程序输入输出所占用的存储空间也是相近的。

事实上，对算法的空间复杂度影响最大的，往往是程序运行过程中所申请的临时存储空间。不同的算法所编写出的程序，其运行时申请的临时存储空间通常会有较大不同。

 例题：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);

	for (int end = n; end > 0; end++)
	{
		int exchange = 0;
		for (int i = 1; i < end; i++)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

上面程序实在原来位置上交换数据，没有开辟新的空间，所以程序的空间复杂度为O（1）；

注意：在多数场景中，一个好的算法往往更注重的是时间复杂度的比较，而空间复杂度只要在一个合理的范围内就可以。